Inspirado por esta pergunta Math.SE .

fundo

A sequência de Fibonacci (chamada F) é a sequência, começando de 0, 1modo que cada número ( F(n)) (após os dois primeiros) seja a soma dos dois antes dele ( F(n) = F(n-1) + F(n-2)).

Uma sequência de Fibonacci mod K (chamada M) é a sequência dos números de Fibonacci mod K ( M(n) = F(n) % K).

Pode-se mostrar que a sequência K de Fibonacci mod é cíclica para todo K, já que cada valor é determinado pelo par anterior, e existem apenas K ² pares possíveis de números inteiros não negativos ambos menores que K. Porque a sequência de Fibonacci mod K é cíclico após seu primeiro par de termos repetido, um número que não aparece no modelo K de Fibonacci Sequence antes que o primeiro par de termos repetido nunca apareça.

Para K = 4

0 1 1 2 3 1 0 1 ...

Para K = 8

0 1 1 2 3 5 0 5 5 2 7 1 0 1 ...

Observe que para K = 8, 4 e 6 não aparece antes da repetição 0 1, portanto 4 e 6 nunca aparecerão no Modon de Fibonacci Sequence 8.

Desafio

Dado um número inteiro K estritamente maior que 0, produza todos os números inteiros não negativos menores que K que não aparecem no modelo K. de Fibonacci Sequence

Regras

• As brechas padrão são proibidas .

• E / S padrão .

• Programas ou funções são aceitáveis .

• Você pode supor que K caiba no seu tipo inteiro nativo ( dentro do motivo ).

• Se houver números não negativos menores que K que não apareçam no Fibonacci Sequence mod K, seu programa / função deve gerar todos esses números de maneira razoável.

• Se não houver números inteiros não negativos inferiores a K que não apareçam no Fibonacci Sequence mod K, seu programa / função poderá indicar isso retornando uma lista vazia, imprimindo nada, produzindo um erro etc.

• Ordem não importa.

• Isso é código-golfe , então a resposta mais curta em cada idioma vence.

Casos de teste

Gere casos de teste online!

Casos de teste não vazios

  8 [4, 6]
 11 [4, 6, 7, 9]
 12 [6]
 13 [4, 6, 7, 9]
 16 [4, 6, 10, 12, 14]
 17 [6, 7, 10, 11]
 18 [4, 6, 7, 9, 11, 12, 14]
 19 [4, 6, 7, 9, 10, 12, 14]
 21 [4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 19]
 22 [4, 6, 7, 9, 15, 17, 18, 20]
 23 [4, 7, 16, 19]
 24 [4, 6, 9, 11, 12, 14, 15, 18, 19, 20, 22]
 26 [4, 6, 7, 9, 17, 19, 20, 22]
 28 [10, 12, 14, 16, 18, 19, 23]
 29 [4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 27]
 31 [4, 6, 9, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 22, 25, 29]
 32 [4, 6, 10, 12, 14, 18, 20, 22, 26, 28, 30]
 33 [4, 6, 7, 9, 15, 17, 18, 20, 24, 26, 27, 28, 29, 31]
 34 [4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 30]
 36 [4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 31, 32]
 37 [9, 10, 14, 17, 20, 23, 27, 28]
 38 [4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36]
 39 [4, 6, 7, 9, 15, 17, 19, 20, 22, 24, 30, 32, 33, 35]
...
200 [4, 6, 12, 14, 20, 22, 28, 30, 36, 38, 44, 46, 52, 54, 60, 62, 68, 70, 76, 78, 84, 86, 92, 94, 100, 102, 108, 110, 116, 118, 124, 126, 132, 134, 140, 142, 148, 150, 156, 158, 164, 166, 172, 174, 180, 182, 188, 190, 196, 198]
...
300 [6, 18, 30, 42, 54, 66, 78, 90, 102, 114, 126, 138, 150, 162, 174, 186, 198, 210, 222, 234, 246, 258, 270, 282, 294]
...
400 [4, 6, 10, 12, 14, 20, 22, 26, 28, 30, 36, 38, 42, 44, 46, 52, 54, 58, 60, 62, 68, 70, 74, 76, 78, 84, 86, 90, 92, 94, 100, 102, 106, 108, 110, 116, 118, 122, 124, 126, 132, 134, 138, 140, 142, 148, 150, 154, 156, 158, 164, 166, 170, 172, 174, 180, 182, 186, 188, 190, 196, 198, 202, 204, 206, 212, 214, 218, 220, 222, 228, 230, 234, 236, 238, 244, 246, 250, 252, 254, 260, 262, 266, 268, 270, 276, 278, 282, 284, 286, 292, 294, 298, 300, 302, 308, 310, 314, 316, 318, 324, 326, 330, 332, 334, 340, 342, 346, 348, 350, 356, 358, 362, 364, 366, 372, 374, 378, 380, 382, 388, 390, 394, 396, 398]
...

Casos de teste vazios (nenhuma saída, erro, lista vazia etc. é saída aceitável)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 14, 15, 20, 25, 27, 30, 35 ... 100 ...

Palavras-chave:

Contando órbitas de Fibonacci

Encontre o período Pisano

Geléia , 9 8 bytes

²RÆḞ%ḟ@Ḷ

Experimente online!

Com base no período pisano p(n) <= 6nde A001175 . Além disso, p(n) <= 6n <= n^2para n >= 6e p(n) <= n^2para n < 6. Salve este byte graças a Dennis.

Haskell , 70 bytes

Alguma quantidade de bytes salvos graças ao Esolanging Fruit

8 bytes economizados graças ao Laikoni

a=1:scanl(+)1a
f x=[u|u<-[2..x-1],and[mod b x/=u|(_,b)<-zip[1..x^2]a]]

Experimente online!

Perl 6 ,  43 42 39  32 bytes

{^$_ (-)(1,1,(*+*)%$_...->\a,\b{!a&&b==1})}

Teste-o

{^$_∖(1,1,(*+*)%$_...->\a,\b{!a&&b==1})}

Teste-o

{^$_∖(1,1,(*+*)%$_...{!$^a&&$^b==1})}

Teste-o

{^$_∖(1,1,(*+*)%$_...!*&*==1)}

Teste-o

Expandido:

{  # bare block lambda with implicit parameter ｢$_｣

  ^$_               # Range upto and excluding the input

  ∖                 # set minus (U+2216)

  (                 # generate the Fibonacci sequence mod k

    1, 1,           # seed the sequece (can't be 0,1)

    ( * + * ) % $_  # add two values and modulus the input (lambda)

    ...             # keep doing that until

                    # it matches 0,1
    !*              #   negate the first param (1 when 0)
    &               #   and Junction
    *               #   second param
    == 1            #   both match 1

  )
}

> <> , 48 bytes

01\
?!\:&+{:}%:1$0p&$:
v0\~:1=?
>?!;1-::0g?!nao:

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Recebe entrada através do sinalizador -v.

Imprime muitas linhas de excesso, mas realiza o trabalho. Isso basicamente usa a primeira linha para armazenar o conjunto de números que apareceram até agora na sequência.

Como funciona:

01\    Input is already on the stack
...... Initialises the sequence with 1 and 0
...... Goes to the second line
......

......
..\:&+{:}% Gets the next number in the modded Fibonacci sequence while preserving the previous number
......
......

......
..........:1$0p&$: Puts a 1 at that cell number on the first line
.......
.......

......             If the number is a 0 go to the third line
?!\..............: Check if the next number is a 1, meaning we've reached the end of the sequence
v0\~:1=?           Go to the fourth line if so
>.....             Re-add the 0 and go back to the second line if not

......           While input:
......             Get the cell from the first line
......             If not 0: print the number
>?!;1-::0g?!nao:   Finally, print a newline and decrement the input

Python 2 , 69 bytes

m=input();r=set(range(m))
a=b=1
exec"a,b=b,a+b;r-={a%m};"*m*6
print r

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MATL , 19 18 bytes

0lbU:"yy+]vG\G:qX~

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-1 byte graças a Guiseppe.

  bU:"   ]         % Do K^2 (>6K) times.
0l    yy+          %  Fibbonaci
                X~ % Set exclusive difference between
          vG\      %  the fibonacci numbers mod K
             G:q   %  and 0...K-1

Python 3 , 91 bytes

lambda n:{*range(n)}-{*f(n*n,n)}
f=lambda c,m,l=[1,0]:f(c-1,m,[(l[0]+l[1])%m]+l)if c else l

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Casca , 13 12 10 bytes

Obrigado @Zgarb por -2 bytes!

-U2m%⁰İfŀ⁰

Imprime uma lista vazia, caso todos os números apareçam, tente online!

Explicação

-U2m%⁰İfŀ⁰  -- named argument ⁰, example with: 8
-           -- difference of
        ŀ⁰  -- | lowered range: [0,1,2,3,4,5,6,7]
            -- and
      İf    -- | Fibonacci sequence: [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377…
   m%⁰      -- | map (modulo ⁰): [1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0,1,1…
 U2         -- | keep longest prefix until 2 adjacent elements repeats: [1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0,1]
            -- : [4,6]

Python 3 , 78 bytes

def m(K):M=0,1;exec(K*6*'M+=sum(M[-2:])%max(K,2),;'+'print({*range(K)}-{*M})')

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Imprime um conjunto, de modo que a saída para casos de teste vazios é set(), que é o conjunto vazio.

R, 92 86 bytes

Obrigado a @ Giuseppe por salvar 6 bytes!

function(k,n=!!0:2){while(any((z=tail(n,2))-n[1:2]))n=c(n,sum(z)%%k);setdiff(1:k-1,n)}

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Implementação bastante direta ( versão anterior , mas o mesmo conceito):

function(k,
         K=1:k-1,      #Uses default arguments to preset variables for legibility 
         n=c(0,1,1)){  #(wouldn't change byte-count to put them in the body of the function)
    while(any((z=tail(n,2))!=n[1:2])) #Do as long as first 2 elements are not identical to last 2 elements
        n=c(n,sum(z)%%k) #Built the fibonacci mod k sequence
    K[!K%in%n] #Outputs integers < k if not in sequence.
}

Python 3, 173 152 143 131 bytes

f=lambda n,m,a=0,b=1:a%m if n<=0else f(n-1,m,b,a+b)
p=lambda n,i=2,y={0}:y^{*range(n)}if f(i,n)==1>f(i-1,n)else p(n,i+1,y|{f(i,n)})

Agradecimentos especiais a @ovs.

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Como funciona?

A primeira função usa dois parâmetros m e n e retorna o enésimo número de mf de Fibonacci mod m. A segunda função percorre os números de Fibonacci mod k e verifica se 0 e 1 são repetidos. Ele armazena os números em uma lista e o compara com uma lista que contém os números 1-n. Os números duplicados são removidos e os números restantes são retornados.

05AB1E , 10 bytes

L<InLÅfI%K

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-3 bytes graças a Emigna.

Ruby , 47 bytes

->n{a=b=1;[*1...n]-(1..n*n).map{a,b=b,a+b;a%n}}

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Embora ele use parte da mesma lógica, isso não se baseia na resposta do GB .

Explicação:

->n{
  a=b=1;   # start sequence with 1,1
  [*1...n] # all the numbers from 1 to n-1 as an array
           # 0 is excluded as it should never be in the final answer 
  -  # set operation; get all items in the first set and not in the second
  (1..n*n).map{ # n squared times
    a,b=b,a+b;  # assign next fibonacci numbers 
    a%n         # return a fibonacci number mod n
  }    # Map to an array
}

Lisp comum, 106 bytes

(lambda(k)(do((a 1 b)c(b 1(mod(+ a b)k)))((=(1- b)0 a)(dotimes(i k)(or(member i c)(print i))))(push a c)))

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Pari / GP , 55 bytes

n->setminus([0..n-1],Set([fibonacci(i)%n|i<-[0..n^2]]))

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Elixir , 148 144 bytes

 fn x->Enum.to_list(1..x-1)--List.flatten Enum.take_while Stream.chunk(Stream.unfold({1,1},fn{p,n}->{rem(p,x),{n,p+n}}end),2),&Enum.sum(&1)!=1end

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Não é uma resposta especialmente competitiva, mas foi realmente divertido jogar golfe! Elixir é uma linguagem bastante legível, mas segue uma explicação para a bagunça de personagens no meio.

Esta explicação está em duas seções, o mod-fibonacci e o funcionamento nele

Mod-fib:

Stream.unfold({1,1},fn{p,n}->{rem(p,x),{n,p+n}}end)

Isso retorna um fluxo infinito de fibonacci mod x. Começa com um acumulador {1,1}e aplica a seguinte operação ad infinitum: dado acumulador {p,n}, saída p mod xpara o fluxo. Em seguida, defina o acumulador para{n,p+n} .

O resto:

fn x->                              Define a fxn f(x) that returns
  Enum.to_list(1..x-1)--            The numbers from 1..x-1 that are not in
  List.flatten                      The flattened list constructed by
    Enum.take_while                 Taking from mod-fib until
      Stream.chunk(                 A 2-size chunk
        Stream.unfold({1,1},fn{p,n}->{rem(p,x),{n,p+n}}end) (of mod fib)
        ,2)
      ,&Enum.sum(&1)!=1             sums to 1, representing [0,1] or [1,0]
end

SNOBOL4 (CSNOBOL4) , 153 bytes

 k =input
 a =table()
 y =1
i z =remdr(x + y,k)
 a<z> =1
 x =y
 y =z
 i =lt(i,k * 6) i + 1 :s(i)
o output =eq(a<o>) lt(o,k) o
 o =lt(o,k) o + 1 :s(o)
end

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Ruby , 55 53 bytes

->n{*a=0,b=1;(n*n).times{a<<(b+=a[-2])%n};[*1...n]-a}

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JavaScript (ES6), 84 bytes

f=(n,a=0,b=1,q=[...Array(n).keys()])=>a*b+a-1?f(n,b,(a+b)%n,q,q[b]=0):q.filter(x=>x)

Python 3, 76 bytes

def t(n,r=[1]):
 while n*n>len(r):r+=[sum(r[-2:])%n]
 return{*range(n)}-{*r}

Isso simplesmente examina o ciclo mais longo possível dos números de Fibonnaci (n ^ 2) e cria uma lista de todos os números que ocorrem nesse período. Para simplificar a lógica, os números são armazenados no módulo n.