Como vimos nesta questão , declarações lógicas complexas podem ser expressas em termos dos conectivos simples do Campo Minado generalizado. No entanto, o caça-minas generalizado ainda possui redundâncias.

Para evitar essas redundâncias, definimos um novo jogo chamado "Generalized-1 Minesweeper".

O Campo Minado Generalizado-1 é uma versão do Campo Minado reproduzida em um gráfico arbitrário. O gráfico possui dois tipos de vértice, um "indicador" ou um "valor". Um valor pode ser ativado ou desativado (uma mina ou um insucesso), porém seu estado é desconhecido para o jogador. Um indicador informa que exatamente uma das células adjacentes está ligada (uma mina). Os indicadores não contam como minas.

Por exemplo, a seguinte placa para o Campo Minado Generalizado nos diz que as células A e B são minas ou nenhuma delas.

(No diagrama, os indicadores são marcados em cinza enquanto os valores são em branco)

Diferente do caça-minas normal, em que você clica nos valores que estão desativados para revelar indicadores, não existe esse mecânico no caça-minas generalizado. Um jogador simplesmente determina para quais estados do gráfico podem satisfazer seus indicadores.

Seu objetivo é fazer um 2caça-minas generalizado-1. Você criará uma estrutura no Generalized-1 Minesweeper, de modo que haja 8 células específicas para as quais todas as configurações possíveis de valores tenham exatamente duas células ativadas. Isso significa que ele se comporta exatamente como o 2faz no tradicional caça-minas. Ao escrever sua solução, você não deve ter valores específicos em mente para células de valor. (Em resposta à pergunta de H.PWiz, é permitido que algumas células de valor possam ser dedutíveis do estado)

Pontuação

Suas respostas serão pontuadas pelo número de vértices no gráfico final menos 8 (para as 8 entradas), com uma pontuação menor sendo melhor. Se duas respostas estiverem vinculadas nessa métrica, o desempate será o número de arestas.

42 vértices, 56 arestas

Cada variável é um vértice de valor e cada caixa é um vértice indicador com arestas para as variáveis ​​dentro dela. As entradas são x ₁ , ..., x ₈ . Por exemplo, aqui está uma solução com minas em x ₃ e x ₅ , com as minas destacadas em verde.

As restrições horizontais garantir que exatamente um dos um 's e exatamente um dos b ' s tem uma mina. Nessas duas colunas, r não possui uma mina, mas nas outras seis colunas. (Note-se que um e b não podem ambos ter uma mina na mesma coluna). Cada entrada x é oposta a R na sua coluna, de modo exactamente duas entradas tem minas como desejado.

Para kentradas, isso usa 5k+2vértices ( 3kvalor e 2k+2indicador) e 7karestas. Aqui, as k=8entradas fornecem 42 vértices e 56 arestas.

50 vértices, 89 arestas

Baseado no portão lógico da resposta de H.PWiz.

  A&B      C&D      E&F      G&H
   |        |        |        |
b--1--a  d--1--c  f--1--e  h--1--g
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
1--?--1  1--?--1  1--?--1  1--?--1
|     |  |     |  |     |  |     |
A     B  C     D  E     F  G     H

Cada um *está ativado quando as duas entradas respectivas estão ativadas. Para lidar com o caso de uma única entrada, usamos os valores intermediários a=A&!Betc. conectar todos os três valores a, be A&Bà entrada de um nível secundário de portões nos dá uma entrada eficaz de A|B(isso poupa vértices mais !(!A&!B)):

      *              *
      |              |
   #--1--#        #--1--#
   |  |  |        |  |  |
   1--?--1        1--?--1
  |||   |||      |||   |||
  A|B   C|D      E|F   G|H

Estes *estão ativados se duas de suas entradas (correspondentes a quatro das entradas originais) estiverem ativadas, exceto no caso dos pares já abordados acima. Enquanto isso, podemos conectar os #*#nós a um portão final. Portanto, temos os seguintes resultados:

A&B
C&D
E&F
G&H
(A|B)&(C|D)         [4 cases]
(E|F)&(G|H)         [4 cases]
(A|B|C|D)&(E|F|G|H) [16 cases]

Estes abrangem todos os 28 casos de duas entradas. Resta então conectar um indicador final a esses sete valores. Se menos de duas entradas estiverem ativadas, nenhuma delas estará ativada, portanto o indicador estará desligado. Se mais de duas entradas estiverem ativadas, mais de uma delas estará ativada e o indicador apagado.

197 vértices, 308 arestas

Eu vim com essa resposta ontem à noite, mas retive a postagem porque era uma pontuação muito alta. No entanto, uma vez que supera a outra resposta por tantas, acho que devo publicá-la.

Eu uso o seguinte configurado em todos os 28 pares de células de valores em ABCDEFGH

   ?*
   |
?--1--?
|  |  |
1--?--1
|     |
A     B

?representa uma célula de valor que não está ABCDEFGH. Aqui, quando ?*é ON , Ae Bsão ambos diante. Caso contrário, Ae Bpode estar em qualquer outra configuração.

Eu conecto todos os 28 ?*s em uma célula indicadora. Isso significa que apenas um par ABCDEFGHterá dois ON . O que é suficiente para garantir que exatamente duas das minhas células de saída estejam LIGADAS

354 nós, 428 arestas

Só para provar que é possível. Melhorarei isso mais tarde com algum cache.

(espero que não haja erro de código)

Tentei escrever um programa Mathematica aqui para verificar a validade do programa, mas provavelmente não funciona porque existem muitas variáveis.

O resultado foi gerado por programa de computador: Experimente online!

Eu uso um portão que se parece com isso:

               (f)
                |
                |
               (#)
              /   \
             /     \
           (d)     (e)
          /           \
         /             \
       (#) --- (c) --- (#)
     .'                  '.
   .'                      '.
(a)                          (b)

onde (#)são 1 indicadores, (a).. (f)são valores.

Então,

c = (not a) and (not b)
d = (not a) and      b
e =      a  and (not b)
f =      a  xnor     b

Além disso, este portão

(a) ----- (#) ----- (b)

dá

b = not a

. Use esses dois tipos de portas que você pode construir quaisquer expressões.

Obviamente, este é para afirmar que (a)deve ser verdade:

(a) ----- (#)

81 nós, 108 bordas

Usando 13 nós e 14 arestas, criamos o seguinte gate Adder (C (arry) = X AND Y, S (um) = X XOR Y):

X - 1 --------------?
   | |
   ? - 1 - S - 1 -? - 1
   | | |
   | C
Y - 1 --------------?

Use quatro Adicionadores M1, M2, M3, M4 para adicionar A + B, C + D, E + F, G + H, respectivamente, com o transporte C1, C2, C3, C4 resultante e a soma S1, S2, S3, S4

Use dois Adicionadores M5, M6 para adicionar S1 + S2, S3 + S4, com o transporte C5, C6 resultante e a soma S5, S6.

Use um Adder M7 para adicionar S5 + S6 para obter C7 e S7.

Agora, conecte todos os carregamentos a um único nó indicador, como o seguinte:

C1-
C2-
C3-
C4 - + - 1
C5-
C6-
C7-

e forçar S7 (o módulo 2 da soma de 8 valores) a ser 0 por este circuito:

S7--1 -? - 1

Argumento que esse circuito força exatamente dois valores ABCDEFGHpara estarem LIGADOS, pois só pode ser um número par (já que S7 é 0) e não pode haver mais de 3 valores LIGADOS (já que apenas um de C1-C7 está LIGADO).