O desafio é escrever codegolf para o Hafnian de uma matriz . O Hafnian de um 2n-by- 2nmatriz simétrica Aé definida como:

Aqui S _2n representa o conjunto de todas as permutações dos números inteiros de 1a 2n, isto é[1, 2n] .

O link da wikipedia fala sobre matrizes de adjacência, mas seu código deve funcionar para qualquer matriz de entrada simétrica com valor real.

Para os interessados ​​nas aplicações do Hafnian, o link mathoverflow discute um pouco mais.

Seu código pode receber entrada da maneira que desejar e fornecer saída em qualquer formato razoável, mas inclua na sua resposta um exemplo completo, incluindo instruções claras de como fornecer entrada para o seu código.

A matriz de entrada é sempre quadrada e terá no máximo 16 por 16. Não há necessidade de lidar com a matriz vazia ou matrizes de dimensão ímpar.

Implementação de referência

Aqui está um exemplo de código python do Sr. Xcoder.

from itertools import permutations
from math import factorial

def hafnian(matrix):
    my_sum = 0
    n = len(matrix) // 2
    for sigma in permutations(range(n*2)):
        prod = 1
        for j in range(n):
            prod *= matrix[sigma[2*j]][sigma[2*j+1]]
        my_sum += prod
    return my_sum / (factorial(n) * 2 ** n)


print(hafnian([[0, 4.5], [4.5, 0]]))
4.5
print(hafnian([[0, 4.7, 4.6, 4.5], [4.7, 0, 2.1, 0.4], [4.6, 2.1, 0, 1.2], [4.5, 0.4, 1.2, 0]])
16.93
print(hafnian([[1.3, 4.1, 1.2, 0.0, 0.9, 4.4], [4.1, 4.2, 2.7, 1.2, 0.4, 1.7], [1.2, 2.7, 4.9, 4.7, 4.0, 3.7], [0.0, 1.2, 4.7, 2.2, 3.3, 1.8], [0.9, 0.4, 4.0, 3.3, 0.5, 4.4], [4.4, 1.7, 3.7, 1.8, 4.4, 3.2]])
262.458

A página wiki agora (2 de março de 2018) foi atualizada por ShreevatsaR para incluir uma maneira diferente de calcular o Hafniano. Seria muito interessante ver isso jogar golfe.

R , 150 142 127 119 bytes

function(A,N=nrow(A),k=1:(N/2)*2)sum(apply(gtools::permutations(N,N),1,function(r)prod(A[cbind(r[k-1],r[k])])))/prod(k)

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Utiliza o mesmo truque que descobri aplicando esta resposta para indexar a matriz P, e o @Vlo sugeriu uma abordagem para remover completamente ofor loop de -6 bytes!

Para criar um novo caso de teste, você pode fazer matrix(c(values,separated,by,commas,going,across,rows),nrow=2n,ncol=2n,byrow=T).

Explicação: (o código é o mesmo; ele usa applyum forloop em vez de um loop, mas a lógica é idêntica).

function(A){
N <- nrow(A)                   #N = 2*n
k <- 1:(N/2) * 2               #k = c(2,4,...,N) -- aka 2*j in the formula
P <- gtools::permutations(N,N) #all N-length permutations of 1:N
for(i in 1:nrow(P))
 F <- F + prod(A[cbind(P[i,k-1],P[i,k])]) # takes the product of all A_sigma(2j-1)sigma(2j) for fixed i and adds it to F (initialized to 0)
F / prod(k)                    #return value; prod(k) == n! * 2^n
}

Pitão , 24 bytes

sm*Fmc@@Qhkek2d{mScd2.pU

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Versão antiga, 35 bytes

*c1**FK/lQ2^2Ksm*Fm@@Q@dtyk@dykK.pU

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Stax , 23 22 19 17 bytes

ü;Y╙◘▌Φq↓ê²╧▐å↑┌C

Execute e depure on-line

A representação ascii correspondente do mesmo programa é essa.

%r|TF2/{xsE@i^H/m:*+

O programa sofre de algum erro de arredondamento de ponto flutuante. Em particular, ele relata em 33673.5000000011vez de 33673.5. Mas acho que a precisão é aceitável, pois esse programa opera com valores de ponto flutuante. Também é muito lento, demorando quase um minuto para as entradas de exemplo nesta máquina.

%                             get size of matrix
 r|T                          get all permutations of [0 ... size-1]
    F                         for each, execute the rest of the program
     2/                       get consecutive pairs
       {        m             map each pair... 
        xsE@                      the matrix element at that location
            i^H/                  divided by 2*(i+1) where i=iteration index
                 :*           product of array
                   +          add to running total

05AB1E , 21 bytes

ā<œε2ô{}Ùεε`Isèsè;]PO

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Versão antiga, 32 bytes

āœvIg;©Lε·UIyX<èèyXèè}P}Oθ®!/®o/

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Como funciona?

āœvIg;©Lε·UIyX<èèyXèè}P}Oθ®!/®o/ – Full program. Argument: A matrix M.
ā                                – The range [1 ... len(M)].
 œ                               – Permutations.
  v                    }         – Iterate over the above with a variable y.
   Ig;©                          – Push len(M) / 2 and also store it in register c.
       Lε            }           – For each integer in the range [1 ... ^]:
         ·U                      – Double it and store it in a variable X.
            yX<                  – Push the element of y at index X-1.
           I   è                 – And index with the result into M.
                yXè              – Push the element of y at index X.
                   è             – And index with the result into ^^.
                      P          – Take the product of the resulting list.
                        O        – Sum the result of the mapping.
                         θ       – And take the last element*.
                          ®!     – Take the factorial of the last item in register c.
                             ®o  – Raise 2 to the power of the last item in register c.
                            /  / – And divide the sum of the mapping accordingly.

* – Yeah, this is needed because I mess up the stack when pushing so many values in the loop and not popping correctly ;P

Geléia , 19 bytes

LŒ!s€2Ṣ€QḅL_LịFHP€S

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Versão alternativa, 15 bytes, desafio pós-datas

LŒ!s€2Ṣ€QœịHP€S

Jelly finalmente obteve uma indexação de matriz n-dimensional.

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Como funciona

LŒ!s€2Ṣ€QœiHP€S  Main link. Argument: M (matrix / 2D array)

L                Take the length, yielding 2n.
 Œ!              Generate all permutations of [1, ..., 2n].
   s€2           Split each permutation into pairs.
      Ṣ€         Sort the pair arrays.
        Q        Unique; deduplicate the array of pair arrays.
                 This avoids dividing by n! at the end.
           H     Halve; yield M, with all of its elements divided by 2.
                 This avoids dividing by 2**n at the end.
         œị      At-index (n-dimensional); take each pair of indices [i, j] and
                 yield M[i][j].
            P€   Take the product the results corresponding the same permutation.
              S  Take the sum of the products.

A versão de 19 bytes funciona de maneira semelhante; apenas tem que se implementar œị.

...ḅL_LịFH...    Return value: Array of arrays of index pairs. Argument: M

    L            Length; yield 2n.
   ḅ             Convert each pair of indices [i, j] from base 2n to integer,
                 yielding ((2n)i + j).
     _L          Subtract 2n, yielding ((2n)(i - 1) + j).
                 This is necessary because indexing is 1-based in Jelly, so the
                 index pair [1, 1] must map to index 1.
        F        Yield M, flattened.
       ị         Take the indices to the left and get the element at these indices
                 from the array to the right.
         H       Halve; divide all retrieved elements by 2.

C (GCC) , 288 285 282 293 292 272 271 bytes

• Salva três bytes, mexendo em dois pós-incrementos e no posicionamento do loop.
• Salva três bytes, mexendo com outra pós-incremento, movendo as duas inicializações de variáveis ​​antes da ramificação - if(...)...k=0...else...,j=0...para a qual o if(k=j=0,...)...else...jogador jogou - e executou uma mudança de índice.
• Onze bytes necessários, suportando floatmatrizes.
• Salvou um byte graças ao Sr. Xcoder ; golfe 2*j+++1para j-~j++.
• Salva vinte bytes removendo uma intdeclaração de tipo de variável supérflua e não usando uma função fatorial, mas calculando o valor fatorial usando um loop for já existente.
• Guardou um byte jogando golfe S=S/F/(1<<n);em S/=F*(1<<n);.

float S,p,F;j,i;s(A,n,P,l,o,k)float*A;int*P;{if(k=j=0,o-l)for(;k<l;s(A,n,P,l,o+1))P[o]=k++;else{for(p=-l;j<l;j++)for(i=0;i<l;)p+=P[j]==P[i++];if(!p){for(F=p=1,j=0;j<n;F*=j)p*=A[P[2*j]*2*n+P[j-~j++]];S+=p;}}}float h(A,n)float*A;{int P[j=2*n];S=0;s(A,n,P,j,0);S/=F*(1<<n);}

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Explicação

float S,p,F;                    // global float variables: total sum, temporary, factorial
j,i;                            // global integer variables: indices
s(A,n,P,l,o,k)float*A;int*P;{   // recursively look at every permutation in S_n
 if(k=j=0,o-l)                  // initialize k and j, check if o != l (possible  permutation not yet fully generated)
  for(;k<l;s(A,n,P,l,o+1))      // loop through possible values for current possible  permuation position
   P[o]=k++;                    // set possible  permutation, recursively call (golfed into the for loop)
 else{for(p=-l;j<l;j++)         // there exists a possible permutation fully generated
  for(i=0;i<l;)                 // test if the possible permutation is a bijection
   p+=P[j]==P[i++];             // check for unique elements
  if(!p){                       // indeed, it is a permutation
   for(F=p=1,j=0;j<n;F*=j)      // Hafnian product loop and calculate the factorial (over and over to save bytes)
    p*=A[P[2*j]*2*n+P[j-~j++]]; // Hafnian product
   S+=p;}}}                     // add to sum
float h(A,n)float*A;{           // Hafnian function
 int P[j=2*n];S=0;              // allocate permutation memory, initialize sum
 s(A,n,P,j,0);                  // calculate Hafnian sum
 S/=F*(1<<n);}                  // calculate Hafnian

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No cerne do programa está o seguinte gerador de permutação que circula S_n. Todo o cálculo hafniano é simplesmente construído sobre ele - e ainda mais jogado.

j,i,p;Sn(A,l,o,k)int*A;{          // compute every element in S_n
 if(o-l)                          // o!=l, the permutation has not fully been generated
  for(k=0;k<l;k++)                // loop through the integers [0, n)
   A[o]=k,Sn(A,l,o+1);            // modify permutation, call recursively
 else{                            // possible permutation has been generated
  for(p=-l,j=0;j<l;j++)           // look at the entire possible permutation
   for(i=0;i<l;i++)p+=A[j]==A[i]; // check that all elements appear uniquely
  if(!p)                          // no duplicat elements, it is indeed a permutation
   for(printf("["),j=0;j<l        // print
   ||printf("]\n")*0;)            //  the
    printf("%d, ",A[j++]);}}      //   permutation
main(){int l=4,A[l];Sn(A,l,0);}   // all permutations in S_4

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R , 84 78 bytes

h=function(m)"if"(n<-nrow(m),{for(j in 2:n)F=F+m[1,j]*h(m[v<--c(1,j),v]);F},1)

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Edit: Obrigado ao Vlo por -6 bytes.

Parece que todo mundo aqui está implementando o algoritmo de referência padrão com permutações, mas tentei tirar proveito do conhecimento da comunidade adquirido no desafio relacionado , que é basicamente a mesma tarefa direcionada ao código mais rápido em vez do golfe.

Acontece que, para uma linguagem que é boa em fatiar matrizes (como R), o algoritmo recursivo: hafnian(m) = sum(m[i,j] * hafnian(m[-rows and columns at i,j]) não é apenas mais rápido, mas também bastante desafiante. Aqui está o código não destruído:

hafnian<-function(m)
{
    n=nrow(m)
    #Exits one step earlier than golfed version
    if(n == 2) return(m[1,2])
    h = 0
    for(j in 2:n) {
        if(m[1,j] == 0) next
        h = h + m[1,j] * hafnian(m[c(-1,-j),c(-1,-j)])
    }
    h
}

Gelatina , 29 bytes

LHµ2*×!
LŒ!s€2;@€€Wị@/€€P€S÷Ç

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Eu acho que a ;@€€Wị@/€€P€parte provavelmente pode ser jogada para baixo. Precisa voltar mais tarde para verificar e adicionar uma explicação.

Haskell , 136 bytes

-14 bytes graças a ovs.

import Data.List
f m|n<-length m`div`2=sum[product[m!!(s!!(2*j-2)-1)!!(s!!(2*j-1)-1)/realToFrac(2*j)|j<-[1..n]]|s<-permutations[1..n*2]]

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Ugh ...

MATL , 29 24 22 bytes

Zy:Y@!"G@2eZ{)tn:E/pvs

Experimente online! Ou verifique todos os casos de teste: 1 , 2 , 3 .

Como funciona

Zy       % Size of (implicit) input: pushes [2*n 2*n], where the
         % input is a 2*n × 2*n matrix. 
:        % Range: gives row vector [1 2 ... 2*n]
Y@       % All permutation of that vector as rows of a matrix
!"       % For each permutation 
  G      %   Push input matrix
  @      %   Push current permutation
  2e     %   Reshape as a 2-row array
  Z{     %   Split rows into a cell array of size 2
  )      %   Reference indexing. With a cell array as index this
         %   applies element-wise indexing (similar to sub2ind).
         %   Gives a row vector with the n matrix entries selected
         %   by the current permutation
  t      %   Duplicate
  n:     %   Number of elements, range: this gives [1 2 ... n]
  E      %   Double, element-wise: gives [2 4 ... 2*n]
  /      %   Divide, element-wise
  p      %   Product
  vs     %   Vertically concatenate and sum
         % End (implicit). Display (implicit)

Língua Wolfram (Mathematica) , 85 bytes

#[[s[[j]],s[[n+j]]]]~Product~{j,n}~Sum~{s,n=Tr[1^#]/2;Permutations@Range[2n]}/n!/2^n&

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Coco , 165 145 128 127 bytes

-1 byte graças ao Sr. Xcoder

m->sum(reduce((o,j)->o*m[p[2*j]][p[j-~j]]/-~j/2,range(len(m)//2),1)for p in permutations(range(len(m))))
from itertools import*

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Perl 6, 86 bytes

{my \n=$^m/2;^$m .permutations.map({[*] .map(->\a,\b{$m[a][b]})}).sum/(2**n*[*] 1..n)}