Dado um polinômio integral de grau estritamente maior que um, decomponha-o completamente em uma composição de polinômios integrais de grau estritamente maiores que um.
Detalhes
- Um polinômio integral é um polinômio com apenas números inteiros como coeficientes.
- Dados dois polinômios
peqa composição é definida por(p∘q)(x):=p(q(x)). - A decomposição de um polinômio integral
pé uma sequência ordenada finita de polinômios integrais,q1,q2,...,qnondedeg qi > 1para todos1 ≤ i ≤ nep(x) = q1(q2(...qn(x)...)), e todos,qinão são mais decompostos. A decomposição não é necessariamente única. - Você pode usar, por exemplo, listas de coeficientes ou tipos polinomiais incorporados como entrada e saída.
- Observe que muitos componentes internos para esta tarefa realmente decompõem os polinômios em um determinado campo e não necessariamente números inteiros, enquanto esse desafio requer polinômios inteiros em decomposição. (Alguns polinômios inteiros podem admitir decomposição em polinômios inteiros, bem como decomposição que contém polinômios racionais.)
Exemplos
x^2 + 1
[x^2 + 1] (all polynomials of degree 2 or less are not decomposable)
x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 20x^3 + 15x^2 - 6 x - 1
[x^3 - 2, x^2 - 2x + 1]
x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 8x + 2
[x^2 + 1, x^2 - 4x + 1]
x^6 + x^2 + 1
[x^3 + x + 1, x^2]
x^6
[x^2, x^3]
x^8 + 4x^6 + 6x^4 + 4x^2 + 4 = (x^2 + 1)^4 + 3
[x^2 + 3, x^2, x^2 + 1]
x^6 + 6x^4 + x^3 + 9x^2 + 3x - 5
[x^2 + x - 5, x^3 + 3*x], [x^2 + 5*x + 1, x^3 + 3*x - 2]
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Alguns algoritmos de decomposição podem ser encontrados aqui e aqui .