O triângulo de Seidel é uma construção matemática semelhante ao triângulo de Pascal e é conhecido por sua conexão com os números de Bernoulli.

As primeiras linhas são:

      1
      1  1
   2  2  1
   2  4  5  5
16 16 14 10 5
16 32 46 56 61 61

Cada linha é gerada da seguinte maneira:

Se o número da linha for par (indexado 1):

• Reduza o primeiro item da linha anterior

• Cada próximo item é a soma do item anterior e o item acima dele

• Duplicar o último item

Se o número da linha for ímpar:

• Reduza o último item da linha anterior

• Indo para trás , cada item é a soma do item anterior e o item acima dele

• Duplique o que agora é o primeiro item.

Basicamente, construímos o triângulo em um padrão em zig-zag:

    1
    v
    1 > 1
        v
2 < 2 < 1
v
2 > 4 > 5 > 5

Para mais informações, consulte a página da Wikipedia sobre números de Bernoulli.

O desafio:

Dado n, como argumento de função ou a partir de STDIN, imprima ou retorne a nquinta linha do triângulo Seidel ou as primeiras nlinhas. Você pode usar a indexação 0 ou 1.

Você não precisa manipular entradas negativas ou não inteiras (nem 0, se indexadas em 1). Você não precisa lidar com saídas maiores que2147483647 = 2^31 - 1

Como isso é código-golfe, faça isso no menor número de bytes possível.

Exemplos:

Nestes exemplos, o valor de retorno é a nlinha th, indexada em 0.

Input   ->  Output

0           1
1           1 1
2           2 2 1
6           272 272 256 224 178 122 61
13          22368256 44736512 66750976 88057856 108311296 127181312 144361456 159575936 172585936 183194912 191252686 196658216 199360981 199360981

Flacidez cerebral , 66 bytes

<>(())<>{({}[()]<(()[{}]<<>{(({}<>{}))<>}>)>)}{}{{}<>{({}<>)<>}}<>

Experimente online!

A linha é indexada em 0.

# Push 1 (the contents of row 0) on other stack; use implicit zero as parity of current row
<>(())<>

# Do a number of times equal to input:
{({}[()]<

  # Subtract the row parity from 1
  (()[{}]<

    # For each entry in old row:
    <>{

      # Add to previous entry in new row and push twice
      (({}<>{}))<>

    }

  >)

>)}{}

# If row parity is odd:
{{}

  # Reverse stack for output
  <>{({}<>)<>}

# Switch stacks for output
}<>

JavaScript (SpiderMonkey) , 67 bytes

Esse código abusa do sort()método e não funciona em todos os mecanismos.

As linhas são indexadas em 0.

f=(n,a=[1],r)=>n--?f(n,[...a.map(n=>k+=n,k=0),k].sort(_=>n|r),!r):a

Experimente online!

Quão?

Revertemos condicionalmente uma matriz usando o sort()método com uma função de retorno de chamada que ignora seus parâmetros e retorna 0 ou um número inteiro positivo. Não tente isto em casa! Isso funciona apenas de forma confiável no SpiderMonkey.

let A = [1,2,3,4,5] and B = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]

             | SpiderMonkey (Firefox)  | V8 (Chrome)             | Chakra (Edge)
-------------+-------------------------+-------------------------+------------------------
A.sort(_=>0) | 1,2,3,4,5               | 1,2,3,4,5               | 1,2,3,4,5
A.sort(_=>1) | 5,4,3,2,1               | 5,4,3,2,1               | 1,2,3,4,5
B.sort(_=>0) | 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 | 6,1,3,4,5,2,7,8,9,10,11 | 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
B.sort(_=>1) | 11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 | 6,11,1,10,9,8,7,2,5,4,3 | 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

Observe que a V8 provavelmente está usando algoritmos de classificação diferentes, dependendo do comprimento da matriz (menos ou mais de 10 elementos).

Comentado

f = (                     // f = recursive function taking:
  n,                      //   n   = row counter
  a = [1],                //   a[] = current row, initialized to [1]
  r                       //   r   = 'reverse' flag, initially undefined
) =>                      //
  n-- ?                   // decrement n; if it was not equal to zero:
    f(                    //   do a recursive call with:
      n,                  //     - the updated value of n
      [ ...a.map(n =>     //     - a new array:
          k += n, k = 0   //       - made of the cumulative sum of a[]
        ), k              //         with the last value appended twice
      ].sort(_ => n | r), //       - reversed if n is not equal to 0 or r is set
      !r                  //     - the updated flag r
    )                     //   end of recursive call
  :                       // else:
    a                     //   stop recursion and return a[]

Perl 6 , 52 bytes

{(1,{[[\+] |.reverse,0]}...*)[$_].sort((-1)**$_*-*)}

Experimente online!

Haskell , 89 87 82 bytes

(cycle[r,id]!!)<*>s
r=reverse
s 0=[1]
s n=let a=zipWith(+)(0:a)$(r.s$n-1)++[0]in a

Apenas simprime as linhas na ordem em zigue-zague, a função anônima na primeira linha inverte metade das linhas.

Obrigado a @nimi por economizar 5 bytes!

Experimente online!

Gelatina , 12 bytes

1;0SƤUƊ⁸¡U⁸¡

Experimente online!

Python 3 , 98 91 bytes

from itertools import*
f=lambda n:n and[*accumulate(f(n-1)[::n&1or-1]+[0])][::n&1or-1]or[1]

Experimente online!

Mudar para a numeração de linhas com base em 0 economizou 7 bytes.

Julia 0.6 , 85 bytes

r(l,n=cumsum(l))=[n...,n[end]]
w=reverse
f(n)=n<2?[1]:n%2<1?r(f(n-1)):w(r(w(f(n-1))))

Experimente online!

Esta é uma solução recursiva em Julia. Observe que ele possui indexação baseada em 1. Daí os testes.

Versão não destruída, para entender a lógica:

function new_row(last_row)
    new_row = cumsum(last_row)
    push!(new_row, new_row[end])
    return new_row
end


function triangle(n)
    if n == 1
        return [1]
    elseif mod(n,2) == 0
        return new_row(triangle(n-1))
    else
        return reverse(new_row(reverse(triangle(n-1))))
    end
end

Como bônus, aqui está uma versão não recursiva, mas é mais longa:

w=reverse;c=cumsum
r(l,i)=i%2<1?c([l...,0]):w(c(w([0,l...])))
f(n,l=[1])=(for i=2:n l=r(l,i)end;l)

Python 2 , 103 97 bytes

f=lambda n,r=[1],k=2:n and f(n-1,[sum(r[-2::-1][:i],r[-1])for i in range(k)],k+1)or r[::-(-1)**k]

Experimente online!

Versão não recursiva (mais fácil de ler):

Python 2 , 106 bytes

def f(n,r=[1],j=1):
 while n:
	a=r[-2::-1];r=r[-1:];n-=1;j=-j
	for x in a+[0]:r+=[r[-1]+x]
 return r[::-j]

Experimente online!

Certamente, melhor é possível!

Python 3 , 91 bytes

from numpy import *
s=lambda n:n and cumsum(s(n-1)[::n%2*2-1]+[0]).tolist()[::n%2*2-1]or[1]

Experimente online!