Definimos como a lista de potências distintas de que somam . Por exemplo, .2 x V ( 35 ) = [ 32 , 2 , 1 $V(x)$$2$$x$$V(35)=[32,2,1]$

Por convenção, os poderes são classificados aqui do mais alto para o mais baixo. Mas isso não afeta a lógica do desafio, nem as soluções esperadas.

Tarefa

Dado um semiprime , substitua cada termo em por outra lista de potências de que somarem a esse termo, de modo que a união de todas as sub-listas resultantes seja uma cobertura exata da matriz definida como:V ( N ) 2 $N$$V(N)$$2$$M$

onde e são os factores primários de .$P$$Q$$N$

Isso é muito mais fácil de entender com alguns exemplos.

Exemplo 1

Para , temos:$N=21$

• $V(N)=[16,4,1]$
• $P=7$ e$V(P)=[4,2,1]$
• $Q=3$ e$V(Q)=[2,1]$
• $M=\pmatrix{8&4&2\\4&2&1}$

Para transformar em uma cobertura exata de , podemos dividir em e em , enquanto permanece inalterado. Portanto, uma saída possível é:M 16 8 + 4 + 4 4 2 + 2 $V(N)$$M$$16$$8+4+4$$4$$2+2$$1$

Outra saída válida é:

Exemplo 2

Para , temos:$N=851$

• $V(N)=[512,256,64,16,2,1]$
• $P=37$ e$V(P)=[32,4,1]$
• $Q=23$ e$V(Q)=[16,4,2,1]$
• $M=\pmatrix{512&64&16\\128&16&4\\64&8&2\\32&4&1}$

Uma saída possível é:

Regras

• Como fatorar não é a parte principal do desafio, você pode considerar e como entrada.P $N$$P$$Q$
• Quando existem várias soluções possíveis, você pode retornar apenas uma delas ou todas elas.
• Você pode retornar alternadamente os expoentes dos poderes (por exemplo, vez de ).[ [ 8 , 4 , 4 ] , [ 2 , 2 ] , [ 1 ] $[[3,2,2],[1,1],[0]]$$[[8,4,4],[2,2],[1]]$
• A ordem das sub-listas não importa, nem a ordem dos termos em cada sub-lista.
• Para alguns semiprimes, você não precisará dividir nenhum termo porque já é uma cobertura perfeita de (consulte A235040 ). Mas você ainda precisa retornar uma lista de listas (singleton) como para .M [ [ 8 ] , [ 4 ] , [ 2 ] , [ 1 ] ] N = $V(N)$$M$$[[8],[4],[2],[1]]$$N=15$
• Isso é código-golfe !

Casos de teste

 Input | Possible output
-------+-----------------------------------------------------------------------------
 9     | [ [ 4, 2, 2 ], [ 1 ] ]
 15    | [ [ 8 ], [ 4 ], [ 2 ], [ 1 ] ]
 21    | [ [ 8, 4, 4 ], [ 2, 2 ], [ 1 ] ]
 51    | [ [ 32 ], [ 16 ], [ 2 ], [ 1 ] ]
 129   | [ [ 64, 32, 16, 8, 4, 2, 2 ], [ 1 ] ]
 159   | [ [ 64, 32, 32 ], [ 16 ], [ 8 ], [ 4 ], [ 2 ], [ 1 ] ]
 161   | [ [ 64, 32, 16, 16 ], [ 8, 8, 4, 4, 4, 2, 2 ], [ 1 ] ]
 201   | [ [ 128 ], [ 64 ], [ 4, 2, 2 ], [ 1 ] ]
 403   | [ [ 128, 64, 64 ], [ 32, 32, 16, 16, 16, 8, 8 ], [ 8, 4, 4 ], [ 2 ], [ 1 ] ]
 851   | [ [ 512 ], [ 128, 64, 64 ], [ 32, 16, 16 ], [ 8, 4, 4 ], [ 2 ], [ 1 ] ]
 2307  | [ [ 1024, 512, 512 ], [ 256 ], [ 2 ], [ 1 ] ]

K (ngn / k) , 66 63 bytes

{(&1,-1_~^(+\*|a)?+\b)_b:b@>b:,/*/:/2#a:{|*/'(&|2\x)#'2}'x,*/x}

Experimente online!

aceita (P; Q) em vez de N

algoritmo:

• calcular A como as somas parciais de V (P * Q)

• multiplique cada V (P) por cada V (Q), classifique os produtos em ordem decrescente (vamos chamá-lo de R) e calcule suas somas parciais B

• encontre as posições desses elementos em B que também ocorrem em A; corte R logo após essas posições

Gelatina , 24 bytes

BṚT’2*
Ç€×þ/FṢŒṖ§⁼Ç}ɗƇPḢ

Um link monádico que aceita uma lista de dois números inteiros [P, Q]que gera uma lista possível de listas, conforme descrito na pergunta.

Experimente online! (rodapé imprime uma representação de string para mostrar a lista como ela realmente é)

Ou veja a suíte de testes (tomando uma lista de N e reordenando os resultados para serem como os da pergunta)

Quão?

$M$$1$$M$$4$$M=[[4]]$

^{Nota: o código coleta todas (uma!) Dessas soluções em uma lista e, em seguida, obtém o resultado do cabeçalho (somente) - ou seja, o cabeçalho final é necessário, pois as partições não possuem todos os pedidos possíveis.}

BṚT’2* - Link 1, powers of 2 that sum to N: integer, N    e.g. 105
B      - binary                                                [1,1,0,1,0,0,1]
 Ṛ     - reverse                                               [1,0,0,1,0,1,1]
  T    - truthy indices                                        [1,4,6,7]
   ’   - decrement                                             [0,3,5,6]
    2  - literal two                                           2
     * - exponentiate                                          [1,8,32,64]

Ç€×þ/FṢŒṖ§⁼Ç}ɗƇPḢ - Main Link: list of two integers, [P,Q]
Ç€                - call last Link (1) as a monad for €ach
    /             - reduce with:
   þ              -   table with:
  ×               -     multiplication
     F            - flatten
      Ṣ           - sort
       ŒṖ         - all partitions
              Ƈ   - filter keep if:
             ɗ    -   last three links as a dyad:
         §        -     sum each
            }     -     use right...
               P  -       ...value: product (i.e. P×Q)
           Ç      -       ...do: call last Link (1) as a monad
          ⁼       -     equal? (non-vectorising so "all equal?")
                Ḣ - head

Python 2 , 261 233 232 231 bytes

g=lambda n,r=[],i=1:n and g(n/2,[i]*(n&1)+r,i*2)or r
def f(p,q):
 V=[[v]for v in g(p*q)];i=j=0
 for m in sorted(-a*b for a in g(p)for b in g(q)):
	v=V[i]
	while-m<v[j]:v[j:j+1]=[v[j]/2]*2
	i,j=[i+1,i,0,j+1][j+1<len(v)::2]
 return V

Experimente online!

1 byte de Jo King ; e outro byte devido a Kevin Cruijssen .

Toma como entrada p,q. Persegue o algoritmo ganancioso.

Geléia , 41 bytes

Œṗl2ĊƑ$Ƈ
PÇIP$ƇṪÇ€Œpµ³ÇIP$ƇṪƊ€ŒpZPṢ⁼FṢ$µƇ

Experimente online!

ÇIP$Ƈ$[P, Q]$

Geléia , 34 bytes

BṚT’2*
PÇŒṗæḟ2⁼ƊƇ€ŒpẎṢ⁼Ṣ}ʋƇÇ€×þ/ẎƊ

Experimente online!

Formato de entrada: [P, Q](o link TIO acima não aceita isso, mas apenas um número, para ajudar nos casos de teste).

Formato de saída: lista de todas as soluções (mostradas como representação em grade da lista 3D em TIO).

Velocidade: Tartaruga.

Pitão , 27 bytes

$N$

L^2x1jb2;hfqyQsMT./S*M*FyMP

Experimente aqui!

Haskell, 281 195 bytes

import Data.List
r=reverse.sort
n#0=[]
n#x=[id,(n:)]!!mod x 2$(n*2)#div x 2
m!0=[]
m!x=m!!0:tail m!(x-m!!0)
m%[]=[]
m%n=m!head n:drop(length$m!head n)m%tail n
p&q=r[x*y|x<-1#p,y<-1#q]%r(1#(p*q))