Sobre as representações da Zeckendorf / números base de Fibonacci

Este é um sistema numérico que usa os números de Fibonacci como base. Os números consistem em 0 e 1 e cada 1 significa que o número contém o número correspondente de Fibonacci e 0 significa que não.

Por exemplo, vamos converter todos os números naturais <= 10 em Fibonacci base.

• 1 se tornará 1, porque é a soma de 1, que é um número de Fibonacci,

• 2 se tornará 10, porque é a soma de 2, que é um número de Fibonacci, e não precisa de 1, porque já alcançamos a soma desejada.

• 3 se tornará 100, porque é a soma de 3, que é um número de Fibonacci e não precisa de 2 ou 1, porque já alcançamos a soma desejada.

• 4 se tornará 101, porque é a soma de [3,1], sendo ambos os números de Fibonacci.
• 5 se tornará 1000, porque é a soma de 5, que é um número de Fibonacci, e não precisamos de nenhum dos outros números.
• 6 se tornará 1001, porque é a soma dos números de Fibonacci 5 e 1.
• 7 se tornará 1010, porque é a soma dos números 5 e 2 de Fibonacci.
• 8 se tornará 10000, porque é um número de Fibonacci.
• 9 se tornará 10001, porque é a soma dos números de Fibonacci 8 e 1.
• 10 se tornará 10010, porque é a soma dos números 8 e 2 de Fibonacci.

Vamos converter um número aleatório de Fibonacci base, 10101001010 para decimal: primeiro, escrevemos os números correspondentes de Fibonacci. Em seguida, calculamos a soma dos números abaixo de 1s.

 1   0   1   0   1   0   0   1   0   1   0
 144 89  55  34  21  13  8   5   3   2   1  -> 144+55+21+5+2 = 227.

Leia mais sobre os números de Fibonacci base: link , também possui uma ferramenta que converte números inteiros regulares em Fibonacci base. Você pode experimentar com isso.

Agora a pergunta:

Sua tarefa é pegar um número na representação Zeckendorf e gerar seu valor decimal.

Input é uma string que contém apenas 0 e 1 (embora você possa receber a entrada da maneira que desejar).

Imprima um número em decimal.

Casos de teste: (no formato entrada-> saída)

 1001 -> 6
 100101000 -> 73
 1000000000 -> 89
 1001000000100100010 -> 8432
 1010000010001000100001010000 -> 723452

Isso é código-golfe, então a resposta mais curta em bytes vence.

Nota: A entrada não conterá nenhum 0 inicial ou 1 consecutivo.

Táxi , 1987 1927 bytes

-60 bytes devido à percepção de que as quebras de linha são opcionais.

Go to Post Office:w 1 l 1 r 1 l.Pickup a passenger going to Chop Suey.Go to Chop Suey:n 1 r 1 l 4 r 1 l.[B]Switch to plan C if no one is waiting.Pickup a passenger going to Cyclone.Go to Cyclone:n 1 l 3 l.Pickup a passenger going to Narrow Path Park.Pickup a passenger going to Sunny Skies Park.Go to Zoom Zoom:n.Go to Sunny Skies Park:w 2 l.Go to Narrow Path Park:n 1 r 1 r 1 l 1 r.Go to Chop Suey:e 1 r 1 l 1 r.Switch to plan B.[C]1 is waiting at Starchild Numerology.1 is waiting at Starchild Numerology.Go to Starchild Numerology:n 1 l 3 l 3 l 2 r.Pickup a passenger going to Addition Alley.Pickup a passenger going to Cyclone.Go to Cyclone:w 1 r 4 l.[D]Pickup a passenger going to Addition Alley.Pickup a passenger going to Cyclone.Go to Addition Alley:n 2 r 1 r.Go to Cyclone:n 1 l 1 l.Pickup a passenger going to Multiplication Station.Go to Zoom Zoom:n.Go to Narrow Path Park:w 1 l 1 l 1 r.Switch to plan E if no one is waiting.Pickup a passenger going to The Babelfishery.Go to The Babelfishery:e 1 r.Pickup a passenger going to Multiplication Station.Go to Multiplication Station:n 1 r 2 l.Pickup a passenger going to Joyless Park.Go to Joyless Park:n 2 l 1 r 1 r.Go to Addition Alley:w 1 r 2 l 1 l.Pickup a passenger going to Cyclone.Go to Cyclone:n 1 l 1 l.Pickup a passenger going to Addition Alley.Switch to plan D.[E]Go to Addition Alley:w 1 l 1 r 1 l.Pickup a passenger going to Riverview Bridge.Go to Riverview Bridge:n 1 r.Go to Joyless Park:e 1 r 2 l.Pickup a passenger going to Addition Alley.[F]Switch to plan G if no one is waiting.Pickup a passenger going to Addition Alley.Go to Fueler Up:w 1 l.Go to Addition Alley:n 3 l 1 l.Pickup a passenger going to Addition Alley.Go to Joyless Park:n 1 r 1 r 2 l.Switch to plan F.[G]Go to Addition Alley:w 1 r 2 l 1 l.Pickup a passenger going to The Babelfishery.Go to The Babelfishery:n 1 r 1 r.Pickup a passenger going to Post Office.Go to Post Office:n 1 l 1 r.

Experimente online!

Como eu não volto à garagem do táxi no final, meu chefe me despede, então sai com um erro.

Perl 6 , 28 23 bytes

{[+] (1,2,*+*...*)Z*$_}

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Anonymous bloco de código que leva uma lista de 1s e 0s em LSB ordenação e retorna um número.

Explicação:

{                     }   # Anonymous codeblock
 [+]                      # The sum of
     (1,2,*+*...*)        # The infinite Fibonacci sequence starting from 1,2
                  Z*      # Zip multiplied by
                    $_    # The input list in LSB form

Gelatina , 5 bytes

T‘ÆḞS

Um link monádico que aceita uma lista no formato Little-endian (ou seja, do LSB à esquerda para MSB à direita).

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Wolfram Language (Mathematica) , 35 32 29 28 bytes

Fibonacci[Range@Tr[#!]+1].#&

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Haskell , 38 bytes

f=1:scanl(+)2f
sum.zipWith(*)f.reverse

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Recebe a entrada como uma lista de 1s e 0s.

Explicação

f=1:scanl(+)2f

Faz uma lista dos números de Fibonacci sans o primeiro, na variável f.

sum.zipWith(*)f.reverse

Pega a lista de entrada reverse, multiplica cada entrada pela entrada correspondente fe depois sumos resultados.

Haskell , 30 bytes

f=1:scanl(+)2f
sum.zipWith(*)f

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Se recebermos a entrada com o bit menos significativo primeiro, não precisamos, reverseportanto, podemos salvar 8 bytes.

Python 2 , 43 bytes

a=b=0
for x in input():b+=a+x;a=b-a
print b

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Leva a entrada como uma lista. A atualização é uma versão mais curta a,b=b+x,a+b+x, semelhante à atualização Fibonacci, a,b=b,a+bse você ignorar x.

Python 2 , 45 bytes

f=lambda n,a=1,b=1:n and n%10*b+f(n/10,b,a+b)

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Aceita entrada como números decimais.

Pitão, 13 bytes

A maior parte disso (8 bytes) está apenas gerando os números de Fibonacci.

s*V_m=+Z|~YZ1

Experimente com este conjunto de testes!

Explicação:

s*V_m=+Z|~YZ1QQ     Autofill variables
    m=+Z|~YZ1Q      Generate the first length(input) Fibonacci numbers as follows:
       Z             Start with Z=0
         ~YZ         And Y=[] (update it to Y=Z, return old Y)
        |   1        if Y is [], then replace with 1
      +              Sum Z and Y
     =               Replace Z with sum
    m                Repeat process
             Q       once for each element of the input
   _                Reverse the order of the Fibonacci numbers
 *V                 Vectorize multiplication
s                   Sum

Brain-Flak , 110 , 102 , 96 , 94 , 78 , 74 bytes

([[]]<>((()))){({}()<([({})]({}({})))>)}{}{}({<>{<{}><>({})(<>)}{}<><{}>})

Experimente online!

J , ₂₄ 14 bytes

#.~2+&%&1~#-#\

Experimente online!

Jogou a versão de 24 bytes que usa a base mista para Fibonacci.

Como funciona

#.~2+&%&1~#-#\  Example input: y=1 0 0 1 0
          #-#\  Length minus 1-based indices; 4 3 2 1 0
   2     ~      Starting from 2, run the following (4,3,2,1,0) times:
    +&%&1         Given y, compute 1 + 1 / y
                The result is 13/8 8/5 5/3 3/2 2
#.~             Mixed base conversion of y into base above; 2+8=10

J , 21 bytes

1#.|.*[:+/@(!~#-])\#\

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Versão refinada da solução de 25 bytes de Galen Ivanov .

Usa a soma diagonal do triângulo de Pascal, que é equivalente à soma dos coeficientes binomiais:

$F_n = \sum\limits_{i=0}^{n} {}_{n-i}C_{i}$

Como funciona

1#.|.*[:+/@(!~#-])\#\
                       Example input: 1 0 0 1 0
                   #\  Generate 1-based index; 1 2 3 4 5
      [:          \    For each prefix of above... (ex. 1 2 3)
              #-]        Subtract each element from the length (ex. 2 1 0)
           (!~   )       Compute binomial coefficient (ex. 3C0 + 2C1 + 1C2)
        +/@              Sum
                       The result is Fibonacci numbers; 1 2 3 5 8
   |.*                 Multiply with mirrored self; 0 2 0 0 8
1#.                    Sum; 10

J , 24 bytes

3 :'y#.~|.(1+%)^:(<#y)2'

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Verbo explícito monádico. Gera a base mista que representa a base de Fibonacci e, em seguida, alimenta a conversão da base #..

Como funciona

y#.~|.(1+%)^:(<#y)2  Explicit verb, input: y = Fibonacci digit array, n = length of y
      (1+%)          x -> 1 + 1/x
           ^:(<#y)2  Apply the above 0..n-1 times to 2
                     The result looks like 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, ...
    |.               Reverse
                     Now, if it is fed into #. on the left, the digit values become
                     ...(8/5 * 5/3 * 3/2 * 2/1), (5/3 * 3/2 * 2/1), (3/2 * 2/1), 2/1, 1
                     which is ... 8 5 3 2 1 (Yes, it's Fibonacci.)
y#.~                 Convert y to a number using Fibonacci base

Alternativas

J , 27 bytes

}.@(+#{.3#{.)^:(<:@#)@(,&0)

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A ideia:

 1  0  0  1  0  1
-1 +1 +1
------------------
    1  1  1  0  1
   -1 +1 +1
------------------
       2  2  0  1
      -2 +2 +2
------------------
          4  2  1
         -4 +4 +4
------------------
             6  5
            -6 +6 +6 <- Add an imaginary digit that has value 1
---------------------
               11  6
              -11+11
---------------------
                  17 <- the answer

J , 30 bytes

0.5<.@+(%:5)%~(-:>:%:5)#.,&0 0

Experimente online!

Este levou o maior esforço para construir. Usa a expressão de forma fechada com o truque de arredondamento. Na expressão, os valores 0 e 1 são 0 e 1 respectivamente, portanto, a potência real do dígito deve começar com 2.

0.5<.@+(%:5)%~(-:>:%:5)#.,&0 0  Tacit verb.
                         ,&0 0  Add two zeroes at the end
              (-:>:%:5)#.       Convert to a number using base phi (golden ratio)
       (%:5)%~                  Divide by sqrt(5)
0.5<.@+                         Round to nearest integer

Embora o erro ( ((1-sqrt(5))/2)^ntermos) possa aumentar, ele nunca excede 0,5, portanto o truque de arredondamento funciona até o infinito. Matematicamente:

$\max(|error|) = \frac{1}{\sqrt{5}} \sum\limits_{1}^{\infty} (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{2n} = \frac{1}{\sqrt{5}} \sum\limits_{0}^{\infty} (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n} = \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} < \frac{1}{2}$

MathGolf , 8 6 bytes

{î)f*+

Experimente online!

Explicação

{        Start block (foreach in this case)
 î)      Push loop index (1-based) and increment by 1
   f     Get fibonacci number of that index
    *    Multiply with the array value (0 or 1)
     +   Add top two elements of stack. This implicitly pops the loop index the first iteration, which makes the addition become 0+a, where a is the top of the stack.

Economizou 1 byte graças ao JoKing e outro byte ao pedido do LSB.

05AB1E , 11 9 8 bytes

vyiNÌÅfO

Experimente online!

Explicação:

v             : For each character in input string (implicit) in LSB order
  yi          : If the current character is truthy (1)
    NÌ        : Add 2 to the current index
       ÅfO    : Add the fibonacci of this number to the stack

• -2 bytes : Obrigado a @ KevinCruijssen por apontar pequenas maneiras de reduzir esse código!
• -1 byte : Obrigado a JonathanAllan por apontar a ordem LSB para entrada!

Python 3 , 63 bytes

a=b=n=1
for i in input()[::-1]:n+=b*int(i);a,b=b,a+b
print(n-1)

Experimente online!

Leva a entrada através de STDIN como uma string.

Vermelho , 142, 126 106 bytes

func[a][b: copy[1 1]reverse a s: 0 n: 1
until[s: b/1 * a/:n + s insert b b/1 + b/2(n: n + 1)> length? a]s]

Experimente online!

Ruby , 39 bytes

->n{a,b=0,1;n.digits.sum{|x|x*b=a+a=b}}

Experimente online!

Stax , 6 bytes

çéC◘0â

Execute e depure

:1F^|5+           #Full program, unpacked, implicit input as array    
:1                #Get indicies of truthy
  F               #Use rest of program to loop through elements
   ^              #Increment current element
    |5+           #Get n-th fib and Add

Bem direto. Pedido LSB.

Flak cerebral , 40 bytes

([]){{}([({}<>{})]({}{}))<>([])}<>({}{})

Experimente online!

C (gcc) , 63 bytes

Recebe a entrada como uma matriz de 1's 0', juntamente com o comprimento da matriz. Esta solução é um loop reverso bastante direto.

f(_,l,a,b,t)int*_;{a=b=1;for(t=0;l--;b=(a+=b)-b)t+=a*_[l];_=t;}

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Prolog (SWI) , 74 bytes

\D-->[X,Y],{D is 2*X+Y};[D];a,\D.
a,[A],[B]-->[X,Y,Z],{A is X+Y,B is X+Z}.

Experimente online!

Recebe a entrada como uma lista de números inteiros 1 e 0 com o bit mais significativo primeiro.

Retina 0.8.2 , 23 bytes

0?
;
+`1;(1*);
;1$1;1
1

Experimente online! O link inclui os casos de teste mais rápidos. Explicação:

0?
;

Insira separadores em todos os lugares e exclua zeros. Por exemplo, 1001torna-se ;1;;;1;.

+`1;(1*);
;1$1;1

Substitua repetidamente cada 1um com a 1em cada um dos próximos dois lugares, pois a soma de seus valores é igual ao valor do original 1. 1s, portanto, migram e se acumulam até atingirem os dois últimos locais, os quais (devido ao novo separador adicionado) agora têm valor 1.

1

Conte os 1s.

Japonês -x, 9 bytes

Ë*MgUÊa´E

Tente

JavaScript (Node.js) , 41 bytes

Uma porta da resposta do xnor . Recebe a entrada como um literal BigInt.

f=(n,a=1n,b=a)=>n&&n%10n*b+f(n/10n,b,a+b)

Experimente online!

JavaScript (ES6), 44 bytes

Recebe a entrada como uma matriz de caracteres, na primeira ordem do LSB.

s=>s.map(k=>t+=k*(z=x,x=y,y+=z),x=t=0,y=1)|t

Experimente online!

Na verdade , 8 bytes

;r⌐@░♂FΣ

Experimente online!

A entrada é tomada como uma lista de bits na primeira ordem do LSB.

Explicação:

;r⌐@░♂FΣ
;r        range(0, len(input))
  ⌐       add 2 to every element in range (range(2, len(input)+2))
   @░     filter: take values in range that correspond to 1s in input
     ♂F   Fibonacci number at index of each element in list (Actually uses the F(0)=F(1)=1 definition, which is why we needed to add 2 earlier)
       Σ  sum

Powershell, 68 bytes

param($s)$b=1
$s[$s.Length..0]|%{$a,$b=$b,($a+$b)
$x+=($_-48)*$b}
$x

Script de teste:

$f = {
param($s)$b=1
$s[$s.Length..0]|%{$a,$b=$b,($a+$b)
$x+=($_-48)*$b}
$x
}

@(
    ,("1001", 6)
    ,("100101000", 73)
    ,("1000000000", 89)
    ,("1001000000100100010", 8432)
    ,("1010000010001000100001010000", 723452)
) | % {
    $s,$e = $_
    $r = &$f $s
    "$($r-eq$e): $r"
}

Resultado:

True: 6
True: 73
True: 89
True: 8432
True: 723452

Java (OpenJDK 8) , 65 bytes

Muito pequeno para uma resposta Java, estou feliz com isso. Recebe a entrada como uma matriz de entradas ordenada pela LSB.

d->{int s=0,f=1,h=1;for(int i:d){s+=i>0?f:0;f=h+(h=f);}return s;}

Experimente online!

Ungolfed

d->{                        // Lambda function that takes array of ints
    int s=0,f=1,h=1;        // Initialise sum and fibonacci vars
    for(int i:d){           // Loop through each input integer
        s+=i>0?f:0;         // If it's 1 add current fibonacci number to sum
        f=h+(h=f);          // Increase fibonacci number 
    }return s;              // return sum
}

Z80Golf , 34 bytes

00000000: dde1 f1b7 2819 fe30 2812 4504 aff5 3cf5  ....(..0(.E...<.
00000010: d1f1 82d5 f510 f9c1 f17c 8067 2c18 e3dd  .........|.g,...
00000020: e5c9                                     ..

Exemplo com entrada 1001-Experimente online!

Exemplo com entrada 100101000-Experimente online!

Montagem:

zeck:		; input=push on stack in MSB order (eg top is LSB) output=reg h
pop ix		; save return addr in ix
f:
pop af		; get next digit
or a
jr z, return	; if current digit==0, return
cp 0x30
jr z, skip	; if current digit=='0' (e.g. not '1'), skip loop
ld b, l		; find fib of counter
fib:
	inc b	; 1-indexing for func to work
	xor a	; set a to 0 (1st fibo num)
	push af
	inc a	; set a to 1 (2nd fibo num)
	push af
	fib_loop:
		pop de
		pop af
		add d
		push de
		push af
		djnz fib_loop
pop bc		; get the fibo num just calculated
pop af		; pop just to reset stack frame
ld a, h
add b		; add current fibo number to sum
ld h, a
skip:
inc l		; increment counter reg
jr f		; repeat loop
return:
push ix		; push the return addr to ret to it
ret