A convolução de Dirichlet é um tipo especial de convolução que aparece como uma ferramenta muito útil na teoria dos números. Opera no conjunto de funções aritméticas .

Desafio

Dadas duas funções aritméticas (ou seja, funções ) calcule a convolução do Dirichlet conforme definido abaixo. $f,g$ $f,g: \mathbb N \to \mathbb R$ $(f * g): \mathbb N \to \mathbb R$

Detalhes

Usamos a convenção . $0 \notin \mathbb N = \{1,2,3,\ldots \}$
A convolução de Dirichlet de duas funções aritméticas é novamente uma função aritmética e é definida como (Ambas as somas são equivalentes. A expressão significa divide , portanto, a soma está acima dos divisores naturais de . Da mesma forma, podemos substituir $f*g$ $f,g$ $(f * g) (n) = \sum_{d | n} f (\frac{n}{d}) \cdot g (d) = \sum_{i \cdot j = n} f (i) \cdot g (j) .$ $(f * g)(n) = \sum_\limits{d|n} f\left(\frac{n}{d}\right)\cdot g(d) = \sum_{i\cdot j = n} f(i)\cdot g(j).$ $d|n$ $d \in \mathbb N$ $n$ $n$ $i = \frac{n}{d} \in \mathbb N, j =d \in \mathbb N$ e temos a segunda formulação equivalente. Se você não está acostumado a essa notação, há um exemplo passo a passo a seguir.) Apenas para elaborar (isso não é diretamente relevante para este desafio): A definição vem do cálculo do produto da série Dirichlet : $(\sum_{n \in N} \frac{f (n)}{n^{s}}) \cdot (\sum_{n \in N} \frac{g (n)}{n^{s}}) = \sum_{n \in N} \frac{(f * g) (n)}{n^{s}}$ $\left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{f(n)}{n^s}\right)\cdot \left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{g(n)}{n^s}\right) = \sum_{n\in\mathbb N}\frac{(f * g)(n)}{n^s}$
A entrada é fornecida como duas funções de caixa preta . Como alternativa, você também pode usar uma lista infinita, um gerador, um fluxo ou algo semelhante que possa produzir um número ilimitado de valores.
Existem dois métodos de saída: Uma função $f*g$ é retornada ou, como alternativa, você pode pegar uma entrada adicional $n \in \mathbb N$ e retornar $(f*g)(n)$ diretamente.
Para simplificar, você pode assumir que todos os elementos de $\mathbb N$ podem ser representados com, por exemplo, um int positivo de 32 bits.
Para simplificar, você também pode assumir que cada entrada $\mathbb R$ pode ser representada por, por exemplo, um único número de ponto flutuante real.

Exemplos

Vamos primeiro definir algumas funções. Observe que a lista de números abaixo de cada definição representa os primeiros valores dessa função.

a identidade multiplicativa ( A000007 ) $ϵ (n) = {\begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n > 1 \end{cases}$ $\epsilon(n) = \begin{cases}1 & n=1 \\ 0 & n>1 \end{cases}$ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
a função da unidade constante ( A000012 ) $1 (n) = 1 \forall n$ $\mathbb 1(n) = 1 \: \forall n$ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
a função de identidade ( A000027 ) $i d (n) = n \forall n$ $id(n) = n \: \forall n$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ...
a função Möbius ( A008683 ) $μ (n) = {\begin{cases} (- 1)^{k} & if n is squarefree and k is the number of Primefactors of n \\ 0 & otherwise \end{cases}$ $\mu(n) = \begin{cases} (-1)^k & \text{ if } n \text{ is squarefree and } k \text{ is the number of Primefactors of } n \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}$ 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, 0, -1, ...
a função totiente de Euler ( A000010 ) $φ (n) = n \prod_{p | n} (1 - \frac{1}{p})$ $\varphi(n) = n\prod_{p|n} \left( 1 - \frac{1}{p}\right)$ 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, ...
a função Liouville ( A008836 ) que é o número de fatores primos de contados com multiplicidade $λ (n) = (- 1)^{k}$ $\lambda (n) = (-1)^k$ $k$ $n$ 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, ...
a função de soma do divisor ( A000203 ) $σ (n) = \sum_{d | n} d$ $\sigma(n) = \sum_{d | n} d$ 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24, 31, 18, 39, 20, ...
a função de contagem do divisor ( A000005 ) $τ (n) = \sum_{d | n} 1$ $\tau(n) = \sum_{d | n} 1$ 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, ...
a função característica dos números quadrados ( A010052 ) $s q (n) = {\begin{cases} 1 & if n is a square number \\ 0 & otherwise \end{cases}$ $sq(n) = \begin{cases} 1 & \text{ if } n \text{ is a square number} \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$ 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

Então, temos os seguintes exemplos:

$\epsilon = \mathbb 1 * \mu$
$f = \epsilon * f \: \forall f$
$\epsilon = \lambda * \vert \mu \vert$
$\sigma = \varphi * \tau$
$id = \sigma * \mu$ e $\sigma = id * \mathbb 1$
$sq = \lambda * \mathbb 1$ e $\lambda = \mu * sq$
$\tau = \mathbb 1 * \mathbb 1$ e $\mathbb 1 = \tau * \mu$
$id = \varphi * \mathbb 1$ e $\varphi = id * \mu$

O último para é uma consequência da inversão de Möbius : Para qualquer a equação é equivalente a . $f,g$ $g = f * 1$ $f = g * \mu$

Exemplo passo a passo

Este é um exemplo calculado passo a passo para aqueles que não estão familiarizados com a notação usada na definição. Considere as funções e . Vamos agora avaliar sua convolução em . Seus primeiros termos estão listados na tabela abaixo. $f = \mu$ $g = \sigma$ $\mu * \sigma$ $n=12$

\begin{array}{cccccccccccccc} f & f (1) & f (2) & f (3) & f (4) & f (5) & f (6) & f (7) & f (8) & f (9) & f (10) & f (11) & f (12) \\ μ & 1 & - 1 & - 1 & 0 & - 1 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ σ & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \end{array}

$\begin{array}{c|ccccccccccccc} f & f(1) & f(2) & f(3) & f(4) & f(5) & f(6) & f(7) & f(8) & f(9) & f(10) & f(11) & f(12) \\ \hline \mu & 1 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ \sigma & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \\ \end{array}$

A soma itera sobre todos os números naturais que dividem , assim assume todos os divisores naturais de . Estes são . Em cada soma, avaliamos em e multiplicamos por avaliado em . Agora podemos concluir $d \in \mathbb N$ $n=12$ $d$ $n=12 = 2^2\cdot 3$ $d =1,2,3,4,6,12$ $g= \sigma$ $d$ $f = \mu$ $\frac{n}{d}$

\begin{aligned} (μ * σ) (12) & = μ (12) σ (1) & + μ (6) σ (2) & + μ (4) σ (3) & + μ (3) σ (4) & + μ (2) σ (6) & + μ (1) σ (12) \\ = 0 \cdot 1 & + 1 \cdot 3 & + 0 \cdot 4 & + (- 1) \cdot 7 & + (- 1) \cdot 12 & + 1 \cdot 28 \\ = 0 & + 3 & 10 & - 7 & - 12 & + 28 \\ = 12 \\ = i d (12) \end{aligned}

$\begin{array}{rlccccc} (\mu * \sigma)(12) &= \mu(12)\sigma(1) &+\mu(6)\sigma(2) &+\mu(4)\sigma(3) &+\mu(3)\sigma(4) &+\mu(2)\sigma(6) &+\mu(1)\sigma(12) \\ &= 0\cdot 1 &+ 1\cdot 3 &+ 0 \cdot 4 &+ (-1)\cdot 7 &+ (-1) \cdot 12 &+ 1 \cdot 28 \\ &= 0 & + 3 & 1 0 & -7 & - 12 & + 28 \\ &= 12 \\ & = id(12) \end{array}$

— flawr
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4

Magra , 108 100 95 78 75 bytes

def d(f g:_->int)(n):=(list.iota n).foldr(λd s,ite(n%d=0)(s+f d*g(n/d))s)0

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Mais casos de teste com todas as funções.

— Freira Furada
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lambda é realmente mais caro que quatro bytes fun ?

— Mario Carneiro

lambda é de três bytes, suponho

— Leaky Nun

Eu acho que é dois em UTF8 (grego é muito baixo unicode)

— Mario Carneiro

Você está certo. Eu também jogava golfe com a importação #

— Leaky Nun

Eu também costumava condsalvar 5 bytes #

— Nun Leaky #

4

Haskell , 46 bytes

(f!g)n=sum[f i*g(div n i)|i<-[1..n],mod n i<1]

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Graças ao flawr por -6 bytes e um grande desafio! E obrigado a H.PWiz por mais -6!

— Mego
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O mais simples é mais curto aqui

— H.PWiz 17/17/18

@ H.PWiz Isso é muito inteligente - eu nem pensei em fazer dessa maneira!

— Mego

3

Python 3 , 59 bytes

lambda f,g,n:sum(f(d)*g(n//d)for d in range(1,n+1)if 1>n%d)

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— Freira Furada
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É //realmente necessário em vez de /?

— Mr. Xcoder

/produziria carros alegóricos certo?

— Leaky Nun

Como dé um divisor de, npor definição, a parte fracionária de n/dé zero; portanto, não deve haver problemas com a aritmética de ponto flutuante. Flutuadores com parte zero fracionária são próximos o suficiente de entradas para fins de Python, e a saída da função é um número real, portanto, fazer isso em n/dvez de n//ddeve ser bom.

— Mego

3

Wolfram Language (Mathematica) , 17 bytes

Claro que o Mathematica possui um built-in. Também acontece de conhecer muitas das funções de exemplo. Eu incluí alguns exemplos de trabalho.

DirichletConvolve

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— Kelly Lowder
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2

Adicionar ++ , 51 bytes

D,g,@~,$z€¦~¦*
D,f,@@@,@b[VdF#B]dbRzGb]$dbL$@*z€g¦+

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Toma duas funções predefinidas como argumentos, mais , e saídas $n$ $(f * g)(n)$

Como funciona

D,g,		; Define a helper function, $g
	@~,	; $g takes a single argument, an array, and splats that array to the stack
		; $g takes the argument e.g. [[τ(x) φ(x)] [3 4]]
		; STACK : 			[[τ(x) φ(x)] [3 4]]
	$z	; Swap and zip:			[[3 τ(x)] [4 φ(x)]]
	€¦~	; Reduce each by execution:	[[τ(3) φ(4)]]
	¦*	; Take the product and return:	τ(3)⋅φ(4) = 4

D,f,		; Define the main function, $f
	@@@,	; $f takes three arguments: φ(x), τ(x) and n (Let n = 12)
		; STACK:			[φ(x) τ(x) 12]
	@	; Reverse the stack:		[12 τ(x) φ(x)]
	b[V	; Pair and save:		[12]			Saved: [τ(x) φ(x)]
	dF#B]	; List of factors:		[[1 2 3 4 6 12]]
	dbR	; Copy and reverse:		[[1 2 3 4 6 12] [12 6 4 3 2 1]]
	z	; Zip together:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]]]
	Gb]	; Push Saved:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)]]]
	$dbL	; Number of dividors:		[[[τ(x) φ(x)]] [[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] 6]
	$@*	; Repeat:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)]]]
	z	; Zip:				[[[τ(x) φ(x)] [1 12]] [[τ(x) φ(x)] [2 6]] [[τ(x) φ(x)] [3 4]] [[τ(x) φ(x)] [4 3]] [[τ(x) φ(x)] [6 2]] [[τ(x) φ(x)] [12 1]]]
	€g	; Run $g over each subarray:	[[4 4 4 6 4 6]]
	¦+	; Take the sum and return:	28

— caird coinheringaahing
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2

R , 58 bytes

function(n,f,g){for(i in (1:n)[!n%%1:n])F=F+f(i)*g(n/i)
F}

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Toma n, fe g. Felizmente, o numberspacote já possui algumas das funções implementadas.

Se houvesse versões vetorizadas disponíveis, o que é possível agrupando cada uma delas Vectorize, é possível a seguinte versão de 45 bytes:

R , 45 bytes

function(n,f,g,x=1:n,i=x[!n%%x])f(i)%*%g(n/i)

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— Giuseppe
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1

Geléia , 9 bytes

ÆDṚÇ€ḋÑ€Ʋ

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A linha no topo é a linha principal de , a linha no fundo é a linha principal de . é passado como argumento para esta função. $f$ $g$ $n$

— Erik, o Outgolfer
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1

Swift 4 , 74 70 54 bytes

{n in(1...n).map{n%$0<1 ?f(n/$0)*g($0):0}.reduce(0,+)}

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— Mr. Xcoder
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1

JavaScript (ES6), 47 bytes

Toma entrada como (f)(g)(n).

f=>g=>h=(n,d=n)=>d&&!(n%d)*f(n/d)*g(d)+h(n,d-1)

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Exemplos

liouville =
n => (-1) ** (D = (n, k = 2) => k > n ? 0 : (n % k ? D(n, k + 1) : 1 + D(n / k, k)))(n)

mobius =
n => (M = (n, k = 1) => n % ++k ? k > n || M(n, k) : n / k % k && -M(n / k, k))(n)

sq =
n => +!((n ** 0.5) % 1)

identity =
n => 1

// sq = liouville * identity
console.log([...Array(25)].map((_, n) => F(liouville)(identity)(n + 1)))

// liouville = mobius * sq
console.log([...Array(20)].map((_, n) => F(mobius)(sq)(n + 1)))

— Arnauld
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1

APL (Dyalog Classic) , 20 bytes

{(⍺⍺¨∘⌽+.×⍵⍵¨)∪⍵∨⍳⍵}

com ⎕IO←1

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Fácil de resolver, difícil de testar - geralmente não é o meu tipo de desafio. No entanto, eu gostei muito deste!

{ }define um operador diádico cujos operandos ⍺⍺e ⍵⍵são as duas funções que estão sendo convoluídas; ⍵é o argumento numérico

∪⍵∨⍳⍵são os divisores de ⍵em ordem crescente, ou seja, únicos ( ∪) dos LCMs ( ∨) de ⍵com todos os números naturais até ele ( ⍳)

⍵⍵¨ aplique o operando certo a cada

⍺⍺¨∘⌽ aplique o operando esquerdo a cada um no sentido inverso

+.× produto interno - multiplique os elementos correspondentes e a soma

O mesmo em ngn / apl parece melhor por causa dos identificadores Unicode, mas ocupa 2 bytes adicionais por causa da indexação 1.

— ngn
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Certeza que demora 27 bytes adicionais em NGN / apl ...

— Erik o Outgolfer

1

C (gcc) , 108 bytes

#define F float
F c(F(*f)(int),F(*g)(int),int n){F s=0;for(int d=0;d++<n;)if(n%d<1)s+=f(n/d)*g(d);return s;}

Implementação direta, descaradamente roubada da resposta Python do Leaky Nun .

Ungolfed:

float c(float (*f)(int), float (*g)(int), int n) {
    float s = 0;
    for(int d = 1; d <= n;++d) {
        if(n % d == 0) {
            s += f(n / d) * g(d);
        }
    }
    return s;
}

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— joH1
fonte

1

F #, 72 bytes

let x f g n=Seq.filter(fun d->n%d=0){1..n}|>Seq.sumBy(fun d->f(n/d)*g d)

Toma as duas funções fe ge um número natural n. Filtra os valores dque não se dividem naturalmente n. Em seguida, avalia f(n/d) e g(d)multiplica-os e soma os resultados.

— Ciaran_McCarthy
fonte

0

Pari / GP , 32 bytes

(f,g,n)->sumdiv(n,d,f(n/d)*g(d))

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Existe uma dirmulfunção interna, mas suporta apenas sequências finitas .

— alefalpha
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Convolução de Dirichlet

Desafio

Detalhes

Exemplos

Exemplo passo a passo

Magra , 108 100 95 78 75 bytes

Haskell , 46 bytes

Python 3 , 59 bytes

Wolfram Language (Mathematica) , 17 bytes

Adicionar ++ , 51 bytes

Como funciona

R , 58 bytes

R , 45 bytes

Geléia , 9 bytes

Swift 4 , 74 70 54 bytes

JavaScript (ES6), 47 bytes

Exemplos

APL (Dyalog Classic) , 20 bytes

C (gcc) , 108 bytes

F #, 72 bytes

Pari / GP , 32 bytes