Uma sequência aritmético-geométrica é o produto elementar de uma sequência aritmética e uma sequência geométrica. Por exemplo, 1 -4 12 -32é o produto da sequência aritmética 1 2 3 4e da sequência geométrica 1 -2 4 -8. O enésimo termo de uma sequência aritmético-geométrica inteira pode ser expresso como

$$a_n = r^n \cdot (a_0 + nd)$$

por algum número real $d$ , diferente de zero reais $r$ , e inteiro $a_0$ . Note-se que $r$ e $d$ não são necessariamente inteiros.

Por exemplo, a sequência 2 11 36 100 256 624 1472 3392tem $a_0 = 2$ , $r = 2$ , e $d = 3.5$ .

Entrada

Uma lista ordenada de $n \ge 2$ números inteiros como entrada em qualquer formato razoável. Como algumas definições de sequência geométrica permitem $r=0$ e definem $0^0 = 1$ , se uma entrada é uma sequência aritmético-geométrica não dependerá da possibilidade de $r$ ser 0. Por exemplo, 123 0 0 0 0não ocorrerá como entrada.

Resultado

Se é uma sequência aritmético-geométrica. Emita um valor de verdade / falsidade ou dois valores consistentes diferentes.

Casos de teste

Verdade:

1 -4 12 -32
0 0 0
-192 0 432 -1296 2916 -5832 10935 -19683
2 11 36 100 256 624 1472 3392
-4374 729 972 567 270 117 48 19
24601 1337 42
0 -2718
-1 -1 0 4 16
2 4 8 16 32 64
2 3 4 5 6 7
0 2 8 24

Falso:

4 8 15 16 23 42
3 1 4 1
24601 42 1337
0 0 0 1
0 0 1 0 0
1 -1 0 4 16

Perl 6 , 184 128 135 bytes

{3>$_||->\x,\y,\z{?grep ->\r{min (x,{r&&r*$_+(y/r -x)*($×=r)}...*)Z==$_},x??map (y+*×sqrt(y²-x*z).narrow)/x,1,-1!!y&&z/y/2}(|.[^3])}

Experimente online!

$r$$d$

$a_n=r \cdot a_{n-1}+r^n \cdot d$

Algumas melhorias são inspiradas na resposta JavaScript de Arnauld.

Explicação

3>$_||  # Return true if there are less than three elements

->\x,\y,\z{ ... }(|.[^3])}  # Bind x,y,z to first three elements

# Candidates for r
x  # If x != 0
??map (y+*×sqrt(y²-x*z).narrow)/x,1,-1  # then solutions of quadratic equation
!!y&&z/y/2  # else solution of linear equation or 0 if y==0

?grep ->\r{ ... },  # Is there an r for which the following is true?

    ( ,                         ...*)  # Create infinite sequence
     x  # Start with x
       {                       }  # Compute next term
        r&&  # 0 if r==0
                (y/r -x)  # d
           r*$_  # r*a(n-1)
                          ($×=r)  # r^n
                +        *  # r*a(n-1)+d*r^n
                                     Z==$_  # Compare with each element of input
min  # All elements are equal?

JavaScript (ES7), 135 127 bytes

a=>!([x,y,z]=a,1/z)|!a.some(n=>n)|[y/x+(d=(y*y-x*z)**.5/x),y/x-d,z/y/2].some(r=>a.every((v,n)=>(v-(x+n*y/r-n*x)*r**n)**2<1e-9))

Experimente online!

Quão?

$r$$d$$<10^{-9}$

Caso especial nº 1: menos de 3 termos

Se houver menos de três termos, é sempre possível encontrar uma sequência correspondente. Então, forçamos um valor verdadeiro.

Caso especial nº 2: apenas zeros

$0$$a_0=0$$d=0$$r\neq 0$

$a_0=0$

$a_0=0$

$$a_n=r^n\times n\times d$$

Que dá:

$$a_1=r\times d\\ a_2=2r^2\times d$$

$d$$0$$a_1\neq 0$

$$r=\frac{a_2}{2a_1}$$

$a_0\neq 0$

$a_{n+1}$$a_n$

$$a_{n+1}=r.a_n+r^{n+1}d$$

$a_{n+2}$

$$\begin{align}a_{n+2}&=r.a_{n+1}+r^{n+2}d\\ &=r(r.a_n+r^{n+1}d)+r^{n+2}d\\ &=r^2a_n+2r.r^{n+1}d\\ &=r^2a_n+2r(a_{n+1}-r.a_n)\\ &=-r^2a_n+2r.a_{n+1} \end{align}$$

Temos notavelmente:

$$a_2=-r^2a_0+2r.a_1$$

Levando ao seguinte quadrático:

$$r^2a_0-2r.a_1+a_2=0$$

Cujas raízes são:

$$r_0=\frac{a_1+\sqrt{{a_1}^2-a_0a_2}}{a_0}\\ r_1=\frac{a_1-\sqrt{{a_1}^2-a_0a_2}}{a_0}$$

Wolfram Language (Mathematica) , 55 bytes

{}!=Solve[i=Range@Tr[1^#];(a+i*d)r^i==#,{r,a,d},Reals]&

Experimente online!

Solveretorne todos os formulários da solução. O resultado é comparado com {}para verificar se há alguma solução.