Inspirado pela popularidade recente de nandgame na TNB e meu próprio desafio anterior .

fundo

O decimal densamente compactado (DPD) é uma maneira de armazenar com eficiência dígitos decimais em binário. Ele armazena três dígitos decimais (000 a 999) em 10 bits, o que é muito mais eficiente que o BCD ingênuo (que armazena um dígito em 4 bits).

Tabela de conversão

O DPD foi projetado para converter facilmente entre os bits e os dígitos, através de um simples padrão de correspondência de cima para baixo. Cada padrão de bits define quantos dígitos altos (8-9) o número possui, onde estão e como mover os bits para formar a representação decimal.

A seguir, a tabela de conversão de 10 bits do DPD para três dígitos decimais. Cada dígito decimal é representado como binário de 4 bits (BCD). Ambos os lados são escritos da esquerda para a direita, do dígito mais significativo para o mínimo.

Bits                 =>  Decimal         (Digit range)

a b c d e f 0 g h i  =>  0abc 0def 0ghi  (0-7) (0-7) (0-7)

a b c d e f 1 0 0 i  =>  0abc 0def 100i  (0–7) (0–7) (8–9)
a b c g h f 1 0 1 i  =>  0abc 100f 0ghi  (0–7) (8–9) (0–7)
g h c d e f 1 1 0 i  =>  100c 0def 0ghi  (8–9) (0–7) (0–7)

g h c 0 0 f 1 1 1 i  =>  100c 100f 0ghi  (8–9) (8–9) (0–7)
d e c 0 1 f 1 1 1 i  =>  100c 0def 100i  (8–9) (0–7) (8–9)
a b c 1 0 f 1 1 1 i  =>  0abc 100f 100i  (0–7) (8–9) (8–9)
x x c 1 1 f 1 1 1 i  =>  100c 100f 100i  (8–9) (8–9) (8–9)

Notações

• As letras minúsculas apara isão os bits que são copiados para a representação decimal.
• 0e 1são os bits exatos nos padrões de bits de entrada ou saída.
• x bits são ignorados na conversão.

Tarefa

Construa um circuito lógico usando portas NAND de duas entradas para converter 10 bits de DPD em 12 bits de BCD.

Exemplos

Bits enfatizados são os bits de correspondência de padrão.

DPD                    Decimal  BCD
0 0 0 0 0 0 0 1 0 1    005      0000 0000 0101
            ^
0 0 0 1 1 0 0 0 1 1    063      0000 0110 0011
            ^
0 0 0 1 1 1 1 0 0 1    079      0000 0111 1001
            ^ ^ ^
0 0 0 0 0 1 1 0 1 0    090      0000 1001 0000
            ^ ^ ^
0 0 0 1 0 1 1 1 1 0    098      0000 1001 1000
      ^ ^   ^ ^ ^
1 0 1 0 1 1 1 0 1 0    592      0101 1001 0010
            ^ ^ ^
0 0 1 1 0 0 1 1 0 1    941      1001 0100 0001
            ^ ^ ^
1 1 0 0 1 1 1 1 1 1    879      1000 0111 1001
      ^ ^   ^ ^ ^
1 1 1 0 0 0 1 1 1 0    986      1001 1000 0110
      ^ ^   ^ ^ ^
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1    999      1001 1001 1001
      ^ ^   ^ ^ ^
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    999      1001 1001 1001
      ^ ^   ^ ^ ^

Critério de pontuação e vitória

A pontuação é o número de portas NAND de duas entradas usadas em seu circuito. A pontuação mais baixa vence.

Você pode definir pequenos componentes em termos de portas NAND de duas entradas e usá-los em sua construção final. Se um componente Xincluir Nportas NAND de duas entradas, cada uso será Xadicionado Nà sua pontuação. Para portas lógicas básicas, isso significa:

• NÃO: +1
• 2 entradas AND: +2
• 2 entradas OU: +3
• 2 entradas XOR: +4

45 NANDs (ou 43)

45 parece ser o mínimo absoluto, mas é possível alcançar 43 NANDs com um truque: supondo que os maiores números sejam codificados corretamente.

888, 889, 898, 899, 988, 989, 998, 999 devem ser codificados com os 2 MSB como 00, exigindo apenas 43 NANDs para decodificação.

No entanto, na especificação para decodificação, eles são especificados para serem ignorados, o que significa que podem ser qualquer coisa. É razoável supor que essa especificação mais livre possa exigir menos portais, mas o oposto é verdadeiro. São necessários 45 portões para isso. Essa economia pode trazer benefícios reais para circuitos reais.

Também encontrei circuitos que eram significativamente mais eficientes e mais rápidos, contendo mais alguns portões.

Desta vez, nenhuma imagem desenhada a lápis do circuito. Talvez mais tarde.

O circuito é apresentado em código Verilog óbvio, pronto para ser executado com o teste incluído.

Código Verilog:

// Densely packed decimal (DPD) to decimal, circuit in Verilog.
// 45 NANDs only, which seems to be minimal.
//
// By Kim Øyhus 2019 (c) into (CC BY-SA 3.0.)
// This work is licensed under the Creative Commons Attribution 3.0
// Unported License. To view a copy of this license, visit
// https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
//
// This is my entry to win this Programming Puzzle & Code Golf
// at Stack Exchange: 
// /codegolf/176557/densely-packed-decimal-dpd-to-decimal-with-logic-gates
//
// TASK:
// 3 decimal digits are stored in 10 bits in the DPD format,
// and this circuit transforms them into 3 decimal digits in
// 4 bits each, BCD format.
//
// 45 gates seem to be the smallest possible NAND circuit there is
// for this task, but I can get even lower by a trick, to 43:
// I assume that the largest numbers are correctly encoded.
//   888, 889, 898, 899, 988, 989, 998, 999 are to be encoded
// with the 2 MSB as 00, requiring just 43 NANDs for decoding.
//
//   However, in the specification for decoding, they are specified
// to be ignored, meaning they can be anything. It is a reasonable
// assumption that this freer specification could require even fewer
// gates, but the opposite is true. 45 gates are required for this.
// This saving could give real benefits for real circuits.
//
//   This DPD format seems to be used a lot for storing decimal numbers
// in computers and IO for ALUs, even though it is stored as 12 bits
// per 3 digits inside the ALUs and for other calculations.
// It is also used in many patents.


module decode1000 ( in_000, in_001, in_002, in_003, in_004, in_005, in_006, in_007, in_008, in_009, out000, out001, out002, out003, out004, out005, out006, out007, out008, out009, out010, out011 );
  input  in_000, in_001, in_002, in_003, in_004, in_005, in_006, in_007, in_008, in_009;
  output out000, out001, out002, out003, out004, out005, out006, out007, out008, out009, out010, out011;
  wire   wir000, wir001, wir002, wir003, wir004, wir005, wir006, wir007, wir008, wir009, wir010, wir011, wir012, wir013, wir014, wir015, wir016, wir017, wir018, wir019, wir020, wir021, wir022, wir023, wir024, wir025, wir026, wir027, wir028, wir029, wir030, wir031, wir032;

  nand gate000 ( wir000, in_007, in_007 );
  nand gate001 ( wir001, in_003, in_001 );
  nand gate002 ( wir002, in_002, in_003 );
  nand gate003 ( wir003, wir001, in_006 );
  nand gate004 ( wir004, wir002, in_001 );
  nand gate005 ( wir005, wir001, wir001 );
  nand gate006 ( wir006, in_005, in_001 );
  nand gate007 ( wir007, wir006, in_003 );
  nand gate008 ( out008, wir000, wir000 );
  nand gate009 ( wir008, wir004, wir007 );
  nand gate010 ( wir009, wir005, in_006 );
  nand gate011 ( wir010, wir007, wir007 );
  nand gate012 ( wir011, wir009, in_002 );
  nand gate013 ( wir012, wir011, wir009 );
  nand gate014 ( wir013, wir011, wir011 );
  nand gate015 ( wir014, in_008, wir013 );
  nand gate016 ( wir015, in_009, wir013 );
  nand gate017 ( wir016, wir010, wir014 );
  nand gate018 ( wir017, wir014, wir005 );
  nand gate019 ( wir018, wir015, wir015 );
  nand gate020 ( wir019, wir011, wir008 );
  nand gate021 ( wir020, wir019, wir006 );
  nand gate022 ( wir021, wir010, wir018 );
  nand gate023 ( wir022, wir020, wir004 );
  nand gate024 ( wir023, wir016, wir008 );
  nand gate025 ( out001, wir023, wir023 );
  nand gate026 ( out003, wir022, wir022 );
  nand gate027 ( wir024, wir005, wir008 );
  nand gate028 ( wir025, wir012, wir002 );
  nand gate029 ( wir026, wir019, in_003 );
  nand gate030 ( wir027, in_004, in_004 );
  nand gate031 ( out007, wir024, wir009 );
  nand gate032 ( out011, wir026, wir026 );
  nand gate033 ( wir028, wir017, in_005 );
  nand gate034 ( wir029, in_000, in_000 );
  nand gate035 ( wir030, wir026, in_008 );
  nand gate036 ( out005, wir028, wir028 );
  nand gate037 ( out009, wir030, wir030 );
  nand gate038 ( out000, wir029, wir029 );
  nand gate039 ( wir031, wir026, in_009 );
  nand gate040 ( out004, wir027, wir027 );
  nand gate041 ( out010, wir031, wir031 );
  nand gate042 ( wir032, out003, wir018 );
  nand gate043 ( out006, wir003, wir032 );
  nand gate044 ( out002, wir025, wir021 );
endmodule

module test;
   reg  [ 9:0] AB; // input DPD
   wire [11:0] C; // output BCD

  decode1000 U1 ( 
  .in_000 (AB[ 0]), 
  .in_001 (AB[ 1]), 
  .in_002 (AB[ 2]), 
  .in_003 (AB[ 3]), 
  .in_004 (AB[ 4]), 
  .in_005 (AB[ 5]), 
  .in_006 (AB[ 6]), 
  .in_007 (AB[ 7]), 
  .in_008 (AB[ 8]), 
  .in_009 (AB[ 9]), 
  .out000 ( C[ 0]),
  .out001 ( C[ 1]),
  .out002 ( C[ 2]),
  .out003 ( C[ 3]),
  .out004 ( C[ 4]),
  .out005 ( C[ 5]),
  .out006 ( C[ 6]),
  .out007 ( C[ 7]),
  .out008 ( C[ 8]),
  .out009 ( C[ 9]),
  .out010 ( C[10]),
  .out011 ( C[11])
  ); 

   initial  AB=0;  //unary=0;  binary=0
  always  #1  AB = AB+1;
  initial  begin
    $display("\t\ttime,\tinn 10bit   \tout 3x4bit"); 
    $monitor("%d,\t%b %b %b\t%b %b %b\t %d%d%d",$time, AB[9:7],AB[6:4],AB[3:0], C[11:8], C[7:4], C[3:0],  C[11:8], C[7:4], C[3:0]); 
  end 
  initial  #1023  $finish; 
endmodule

// How I run and test it:
// iverilog -o decode1000 decode1000.v
// vvp decode1000

65 62 60 58 NANDs

Tomando as entradas como i0para i9e as saídas como o0a o9, oa, obque temos

t0 = nand(i6, i7)
t1 = nand(t0, t0)
t2 = nand(i3, i4)
o0 = nand(nand(nand(t2, i3), t1), nand(nand(t2, i8), t1))
t3 = nand(o0, o0)
t4 = nand(i0, t3)
o1 = nand(t4, t4)
t5 = nand(i1, t3)
o2 = nand(t5, t5)
o3 = i2
# Score 13 for the first decimal digit

u0 = nand(i6, i8)
u1 = nand(u0, t0)
u2 = nand(i4, t2)
o4 = nand(nand(nand(u2, u0), u2), nand(u1, t0))
u3 = nand(o4, o4)
u4 = nand(o0, i8)
u5 = nand(u4, u4)
u6 = nand(u3, nand(nand(u5, i0), nand(u4, i3)))
o5 = nand(u6, u6)
u7 = nand(u3, nand(nand(u5, i1), nand(u4, i4)))
o6 = nand(u7, u7)
o7 = i5
# Score 20 for the second decimal digit

o8 = nand(nand(nand(nand(i4, i8), o0), t1), nand(nand(i6, u1), i6))
v2 = nand(o8, o8)
v3 = nand(i6, i6)
v4 = nand(i7, i7)
v5 = nand(v2, nand(nand(i6, nand(nand(i7, i0), nand(v4, i3))), nand(v3, i7)))
o9 = nand(v5, v5)
v6 = nand(v2, nand(nand(i6, nand(nand(i7, i1), nand(v4, i4))), nand(v3, i8)))
oa = nand(v6, v6)
ob = i9
# Score 25 for the third decimal digit

Estrutura de teste Python para validar a correção da construção.