Introdução

Inspirado no vídeo muito recente The Trapped Knight - Numberphile , me deparei com um desafio.

A sequência do cavaleiro interceptado é uma sequência inteira finita de comprimento 2016, iniciando em 1 e possui as seguintes regras de construção:

1. Escreva uma espiral numérica da seguinte maneira:

17 16 15 14 13 ...
18  5  4  3 12 ...
19  6  1  2 11 ...
20  7  8  9 10 ...
21 22 23 24 25 ...

2. Coloque um cavaleiro em 1.
3. Mova o cavaleiro para a grade com o menor número possível de visitantes que não tenham sido visitados anteriormente, de acordo com as regras do xadrez (ou seja, 2 unidades na vertical e 1 na horizontal ou vice-versa).
4. Repita até que o cavaleiro fique preso.

Aqui estão os três primeiros passos:

Passo 1

 17  [16]  15  [14]  13 
[18]   5    4    3  [12]
 19    6  < 1>   2   11 
[20]   7    8    9  [10]
 21  [22]  23  [24]  25 

Os movimentos possíveis são 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, entre os quais o menor é 10; portanto, o segundo termo é 10.

Passo 2

  4  [ 3]  12  [29]  54
( 1)   2   11   28  [53] 
  8    9  <10>  27   52 
[23]  24   25   26  [51] 
 46  [47]  48  [49]  50 

Os movimentos possíveis são 1 , 3, 23, 29, 47, 49, 51, 53, entre os quais o menor é 3; portanto, o terceiro termo é 3.

etapa 3

 35  [34]  33  [32]  31 
[16]  15   14   13  [30] 
  5    4  < 3>  12   29 
[ 6] ( 1)   2   11  [28] 
  7  [ 8]   9  (10)  27 

Os movimentos possíveis são 6, 8, 10 , 16, 28, 30, 32, 34, entre os quais o menor é 6; portanto, o quarto termo é 6.

A sequência começa com:

1 10 3 6 9 4 7 2 5 8 11 14 ...

e termina com

... 2099 2284 2477 2096 2281 2474 2675 2884 3101 2880 2467 2084

Desafio

Escreva um programa ou função mais curto, recebendo um número inteiro no intervalo [1, 2016](ou [0, 2015]se o índice 0 for usado) como entrada, imprima o número nesse índice na sequência do cavaleiro preso. Você pode optar por indexar a sequência com 0 ou 1, mas você deve especificar qual esquema de indexação você usa.

Casos de teste (indexados 1)

n    | s(n)
-----+-----
   1 |    1
   2 |   10
   3 |    3
   6 |    4
  11 |   11
  21 |   23
  51 |   95
 101 |   65
 201 |  235
 501 |  761
1001 | 1069
2001 | 1925
2016 | 2084

Para todas as saídas possíveis, consulte esta página .

Critérios Vencedores

O código mais curto de cada idioma vence. Aplicam-se restrições nas brechas padrão.

JavaScript (ES7),  182  181 bytes

f=(n,[x,y]=[2,1],a=[...Array(4e3)].map((_,n)=>[1,-1].map(s=>(i&1?-s:s)*(i+s*n-(n>0?n:-n)>>1),i=n**.5|0,n-=i*++i)))=>n--?f(n,a.find(([X,Y],j)=>(i=j,(x-X)*(y-Y))**2==4),a,a[i]=[]):i+1

Experimente online!

Como?

Uma versão ligeiramente modificada da minha resposta ao The Path Of The Wildebeest é definitivamente mais curta (e mais rápida) do que isso. Mas eu queria tentar uma abordagem diferente. Aliás, acho que pode ser mais fácil implementar esse método em alguns esolangs.

Algoritmo:

1. $3199$

2. $(X,Y)$

   $$((x-X)\times(y-Y))^2=4$$

   $(x,y)$

   $|x-X|=1$$|y-Y|=2$$|x-X|=2$$|y-Y|=1$

3. $(x,y)=(X,Y)$

4. Nós reiniciaremos na etapa 2 ou retornaremos o último índice encontrado se estiver pronto.

Node.js , 155 bytes

n=>(g=(x,y)=>n--?g(Buffer('QHUbcdWJ').map(m=c=>g[i=4*((x+=c%6-2)*x>(y+=c%7-2)*y?x:y)**2,i-=(x>y||-1)*(i**.5+x+y)]|i>m||(H=x,V=y,m=i))|H,V,g[m]=1):m+1)(1,2)

Experimente online!

05AB1E , 53 bytes

Xˆ0UF2D(Ÿ0KãʒÄ1¢}εX+}Dε·nàDtyÆ+yO·<.±*->}D¯KßDˆkèU}¯θ

32θ$n+1$

Experimente online ou verifique mais alguns casos de teste (o tempo limite para os maiores casos de teste).

Explicação:

Veja a explicação na minha resposta O caminho do gnu . As únicas partes modificadas são:

2D(Ÿ    # Get a list in the range [-2,2]: [-2,-1,0,1,2]

e um rastro:

θ       # Only leave the last item of the list

EDIT: Uma porta da abordagem de @Arnauld em sua resposta JavaScript (ES7) é (atualmente):

05AB1E , 57 56 bytes

0D‚DˆUF64D(ŸãΣ·nàDtyÆ+yO·<.±*->}©ʒX-Pn4Q}¯¡˜2£DˆU}®J¯Jk>θ

Experimente online ou verifique mais alguns casos de teste (o tempo limite para os maiores casos de teste).

Explicação:

‚%                # Create a pair of zeros: [0,0]
                  # (by pairing the (implicit) input with itself,
                  #  and then using modulo (implicit) input)
  DˆU             # Set both variable `X` to this, and add it to the global_array
F                 # Loop the (implicit) input amount of times:
 64D(Ÿ            #  Create a list in the range [-64,64]
      ã           #  Create each possible pair of `x,y`-coordinates
       Σ·nàDtyÆ+yO·<.±*->}
                  #  Sort this list in a spiral
        ©         #  Save it in the register (without popping)
 ʒ      }         #  Filter the list of coordinates by:
  X-              #   Subtract the coordinate of variable `X`
    P             #   Take the product
     n            #   Take the square
      4Q          #   Check if its equal to 4
                  # Since 05AB1E cannot remove inner lists, we use a workaround:
         ¯¡       # Split this list on each coordinate in the global_array
           ˜      # Flatten the entire list
            2£    # Only leave the first two integers as `x,y`-coordinate
                  # (if 05AB1E could remove inner lists, this would've been `¯Kн` instead)
              DˆU # Replace variable `X` with this, and add it to the global_array
}®                # After the loop: push all coordinates sorted in a spiral from the register
  J               # Join each coordinate together to a string
   ¯J             # Push the global_array, and also join them together to a string
                  # (if 05AB1E could index inner lists, both `J` could have been removed)
     k            # Get the index of each item of the global_array in the spiral list
      >           # Increase the 0-indexed index by 1 to make it 1-based
       θ          # And only leave the last one (which is output implicitly)

Σ·nàDtyÆ+yO·<.±*->}$x,y$

MATL , 41 37 bytes

62lYLt1=i:"YYw(t5Mf'<@{}'ot_h+)X<y=])

A entrada é baseada em 0.

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