Uma rede de fluxo é um gráfico direcionado G = (V, E)com um vértice de origem s ϵ Ve um vértice de coletor t ϵ V, e onde cada aresta (u, v) ϵ Eno gráfico (nós de conexão u ϵ Ve v ϵ V) possui 2 quantidades associadas:

1. c(u, v) >= 0, a capacidade da borda
2. a(u, v) >= 0, o custo de enviar uma unidade pela borda

Definimos uma função 0 <= f(u, v) <= c(u, v)para ser o número de unidades que estão sendo passadas através de uma determinada aresta (u, v). Assim, o custo para uma determinada aresta (u, v)é a(u, v) * f(u, v). O problema do fluxo de custo mínimo é definido como a minimização do custo total em todas as arestas para uma determinada quantidade de fluxo d, fornecida pela seguinte quantidade:

As seguintes restrições se aplicam ao problema:

1. Requisitos de capacidade : o fluxo através de uma determinada aresta não pode exceder a capacidade dessa aresta ( f(u, v) <= c(u, v)).
2. Simetria de inclinação : o fluxo através de uma determinada aresta deve ser anti-simétrico quando a direção é invertida ( f(u, v) = -f(v, u)).
3. Fluxo de conservação : o fluxo líquido em qualquer nó não-fonte não pia deve ser 0 (para cada u ∉ {s, t}, somando sobre todos w, sum f(u, w) = 0).
4. Fluxo necessário : a rede fluir para fora da fonte e o fluxo líquido na pia deve tanto igualar o fluxo necessário através da rede (somando sobre todos u, sum f(s, u) = sum f(u, t) = d).

Dada uma rede de fluxo Ge um fluxo necessário d, produza o custo mínimo para enviar dunidades pela rede. Você pode assumir que existe uma solução. de todas as capacidades e custos serão números inteiros não negativos. Para uma rede com Nvértices rotulados com [0, N-1], o vértice de origem será 0e o vértice de coletor será N-1.

Isso é código-golfe , então a resposta mais curta (em bytes) vence. Lembre-se de que essa é uma competição entre idiomas e também entre idiomas. Portanto, não tenha medo de postar uma solução em um idioma detalhado.

Os internos são permitidos, mas você é encorajado a incluir soluções sem os internos, como uma solução adicional na mesma resposta ou como uma resposta independente.

A entrada pode ser de qualquer maneira razoável que inclua as capacidades e os custos de cada borda e a demanda.

Casos de teste

Os casos de teste são fornecidos no seguinte formato:

c=<2D matrix of capacities> a=<2D matrix of costs> d=<demand> -> <solution>

c=[[0, 3, 2, 3, 2], [3, 0, 5, 3, 3], [2, 5, 0, 4, 5], [3, 3, 4, 0, 4], [2, 3, 5, 4, 0]] a=[[0, 1, 1, 2, 1], [1, 0, 1, 2, 3], [1, 1, 0, 2, 2], [2, 2, 2, 0, 3], [1, 3, 2, 3, 0]] d=7 -> 20
c=[[0, 1, 1, 5, 4], [1, 0, 2, 4, 2], [1, 2, 0, 1, 1], [5, 4, 1, 0, 3], [4, 2, 1, 3, 0]] a=[[0, 1, 1, 2, 2], [1, 0, 2, 4, 1], [1, 2, 0, 1, 1], [2, 4, 1, 0, 3], [2, 1, 1, 3, 0]] d=7 -> 17
c=[[0, 1, 4, 5, 4, 2, 3], [1, 0, 5, 4, 3, 3, 5], [4, 5, 0, 1, 5, 5, 5], [5, 4, 1, 0, 3, 2, 5], [4, 3, 5, 3, 0, 4, 4], [2, 3, 5, 2, 4, 0, 2], [3, 5, 5, 5, 4, 2, 0]] a=[[0, 1, 4, 2, 4, 1, 1], [1, 0, 3, 2, 2, 1, 1], [4, 3, 0, 1, 4, 5, 2], [2, 2, 1, 0, 2, 2, 3], [4, 2, 4, 2, 0, 4, 1], [1, 1, 5, 2, 4, 0, 2], [1, 1, 2, 3, 1, 2, 0]] d=10 -> 31
c=[[0, 16, 14, 10, 14, 11, 10, 4, 3, 16], [16, 0, 18, 19, 1, 6, 10, 19, 5, 4], [14, 18, 0, 2, 15, 9, 3, 14, 20, 13], [10, 19, 2, 0, 2, 10, 12, 17, 19, 22], [14, 1, 15, 2, 0, 11, 23, 25, 10, 19], [11, 6, 9, 10, 11, 0, 14, 16, 25, 4], [10, 10, 3, 12, 23, 14, 0, 11, 7, 8], [4, 19, 14, 17, 25, 16, 11, 0, 14, 5], [3, 5, 20, 19, 10, 25, 7, 14, 0, 22], [16, 4, 13, 22, 19, 4, 8, 5, 22, 0]] a=[[0, 12, 4, 2, 9, 1, 1, 3, 1, 6], [12, 0, 12, 16, 1, 2, 9, 13, 2, 3], [4, 12, 0, 2, 2, 2, 2, 10, 1, 1], [2, 16, 2, 0, 2, 1, 8, 4, 4, 2], [9, 1, 2, 2, 0, 5, 6, 23, 5, 8], [1, 2, 2, 1, 5, 0, 13, 12, 12, 1], [1, 9, 2, 8, 6, 13, 0, 9, 4, 4], [3, 13, 10, 4, 23, 12, 9, 0, 13, 1], [1, 2, 1, 4, 5, 12, 4, 13, 0, 13], [6, 3, 1, 2, 8, 1, 4, 1, 13, 0]] d=50 -> 213

Esses casos de teste foram calculados com a biblioteca NetworkX Python .

[R + lpSolve ], 201 186 149 144 bytes

function(c,a,d,`^`=rep,N=ncol(c),G=diag(N),P=t(1^N),M=P%x%G+G%x%-P)lpSolve::lp(,a,rbind(M,diag(N*N)),c('=','<')^c(N,N*N),c(d,0^(N-2),-d,c))$objv

Experimente online!

O código constrói o seguinte problema linear e resolve-o usando o lpSolvepacote:

$$\begin{align} min & \sum_{\forall x \in V}\ \sum_{\forall y \in V} A_{x,y} \cdot f_{x,y} \\ subject\ to : & \\ & \sum_{x \in V} f_{v,x} - f_{x,v} = 0 & \forall v \in V : v \neq \{s,t\} \\ & \sum_{x \in V} f_{s,x} - f_{x,s} = d \\ & \sum_{x \in V} f_{t,x} - f_{x,t} = -d \\ & f_{x,b} \leq C_{x,b} & \forall x \in V,\forall y \in V \end{align}$$

• $V$
• $s$
• $t$
• $A_{x,y}$x -> y
• $f_{x,y}$x -> y
• $d$$t$$s$
• $C_{x,y}$x -> y

Wolfram Language, 42 bytes

FindMinimumCostFlow[#,1,VertexCount@#,#2]&

Trivial embutido. Solução não integrada em breve.

Python 3 + NetworkX , 137 bytes

from networkx import*
def f(g,d,z='demand'):N=len(g)**.5//1;G=DiGraph(g);G.node[0][z]=-d;G.node[N-1][z]=d;return min_cost_flow_cost(G)

Nenhum link TryItOnline porque o TIO não possui a biblioteca NetworkX instalada

Toma a entrada do gráfico como uma lista de arestas com atributos de capacidade e peso, assim:

[(0, 0, {'capacity': 0, 'weight': 0}), (0, 1, {'capacity': 3, 'weight': 1}), (0, 2, {'capacity': 2, 'weight': 1}), (0, 3, {'capacity': 3, 'weight': 2}), (0, 4, {'capacity': 2, 'weight': 1}), (1, 0, {'capacity': 3, 'weight': 1}), (1, 1, {'capacity': 0, 'weight': 0}), (1, 2, {'capacity': 5, 'weight': 1}), (1, 3, {'capacity': 3, 'weight': 2}), (1, 4, {'capacity': 3, 'weight': 3}), (2, 0, {'capacity': 2, 'weight': 1}), (2, 1, {'capacity': 5, 'weight': 1}), (2, 2, {'capacity': 0, 'weight': 0}), (2, 3, {'capacity': 4, 'weight': 2}), (2, 4, {'capacity': 5, 'weight': 2}), (3, 0, {'capacity': 3, 'weight': 2}), (3, 1, {'capacity': 3, 'weight': 2}), (3, 2, {'capacity': 4, 'weight': 2}), (3, 3, {'capacity': 0, 'weight': 0}), (3, 4, {'capacity': 4, 'weight': 3}), (4, 0, {'capacity': 2, 'weight': 1}), (4, 1, {'capacity': 3, 'weight': 3}), (4, 2, {'capacity': 5, 'weight': 2}), (4, 3, {'capacity': 4, 'weight': 3}), (4, 4, {'capacity': 0, 'weight': 0})]

Esta é uma versão em golf do código que eu usei para verificar os casos de teste.