Você recebe quatro números. Os três primeiros são $a$ , $b$ , e $c$ , respectivamente, para a sequência:

Você pode receber esses quatro números de qualquer maneira. A saída deve ser uma das duas saídas distintas mencionadas na sua resposta, uma significa que o quarto número é um termo na sequência (a equação acima tem pelo menos uma solução para $n$ que é um número inteiro quando $a$ , $b$ , $c$ e $T_n$ são substituídos pelos valores fornecidos), o outro significa o oposto.

Isso é código de golfe, então a resposta mais curta em bytes vence. Seu programa deve funcionar para qualquer entrada de $a, b, c, T_n$ que os números sejam negativos ou positivos (ou 0), decimais ou números inteiros. Para evitar problemas, mas manter alguma complexidade, os não inteiros sempre terminam em $.5$ . Furos de loop padrão não permitidos.

Casos de teste

a   |b   |c   |T_n |Y/N
------------------------
1   |1   |1   |1   |Y     #n=0
2   |3   |5   |2   |N
0.5 |1   |-2  |-0.5|Y     #n=1
0.5 |1   |-2  |15.5|Y     #n=5
0.5 |1   |-2  |3   |N     
-3.5|2   |-6  |-934|Y     #n=-16
0   |1   |4   |7   |Y     #n=3
0   |3   |-1  |7   |N
0   |0   |0   |1   |N
0   |0   |6   |6   |Y     #n=<anything>
4   |8   |5   |2   |N

Geléia ,  11  10 bytes

_/Ær1Ẹ?%1Ạ

Um link monádico que aceita uma lista de listas * [[c, b, a], [T_n]]e gera 0se T_né uma solução válida ou 1não.

* admitidamente tendo um pouco de liberdade com "Você pode receber esses quatro números de qualquer maneira".

Experimente online! Ou veja uma suíte de testes .

Como?

_/Ær1Ẹ?%1Ạ - Link: list of lists of integers, [[c, b, a], [T_n]]
 /         - reduce by:
_          -   subtraction                    [c-T_n, b, a]
      ?    - if...
     Ẹ     - ...condition: any?
  Ær       - ...then: roots of polynomial     i.e. roots of a²x+bx+(c-T_n)=0
    1      - ...else: literal 1
       %1  - modulo 1 (vectorises)            i.e. for each: keep any fractional part
           -                                       note: (a+bi)%1 yields nan which is truthy
         Ạ - all?                             i.e. all had fractional parts?
           -                                       note: all([]) yields 1

Se pudéssemos produzir resultados não distintos, _/Ær1Ẹ?ḞƑƇtambém funcionaria para 10 (produz 1quando todos os valores são soluções, caso contrário, uma lista de soluções distintas e, portanto, sempre uma lista vazia quando não há soluções - isso também atenderia à definição padrão de Truthy vs Falsey )

JavaScript (ES7), 70 bytes

Retorna um valor booleano.

(a,b,c,t)=>(t-=c,(a*=2)?(x=(b*b+2*a*t)**.5-b)%a&&(x+b+b)%a:b?t%b:t)==0

Experimente online!

Como?

$d = T_n-c$$t$

$a\neq0$

A equação é realmente quadrática:

$a'=2a$

e as raízes são:

$\sqrt{\Delta}$

$a=0, b\neq0$

A equação é linear:

$d\equiv0\pmod b$

$a=0, b=0$

$n$

05AB1E , 35 bytes

Æ©²Āi²4P³n+tÐdi(‚³-IJ·Ä%P}뮳Āi³%]_

Porta da resposta JavaScript de @Arnauld , certifique-se de vomitá-lo!

$[t,c], a, b$

Experimente online

Explicação:

Æ                         # Reduce the (implicit) input-list by subtraction (`t-c`)
 ©                        # Store this value in the register (without popping)
  ²Āi                     # If the second input `a` is not 0:
     ²4P                  #  Calculate `(t-c)*a*4`
        ³n+               #  Add the third input `b` squared to it: `(t-c)*a*4+b*b`
           t              #  Take the square-root of that
                          #  (NOTE: 05AB1E and JS behave differently for square-roots of
                          #   negative integers; JS produces NaN, whereas 05AB1E leaves the
                          #   integer unchanged, which is why we have the `di...}` here)
            Ð             #  Triplicate this square
             di           #  If the square is non-negative (>= 0):
               (‚         #   Pair it with its negative
                 ³-       #   Subtract the third input `b` from each
                   Ä      #   Take the absolute value of both
                    ²·Ä%  #   Modulo the absolute value of `a` doubled
                          #   (NOTE: 05AB1E and JS behave differently for negative modulos,
                          #    which is why we have the two `Ä` here)
                        P #   Then multiply both by taking the product
              }           #  And close the inner if-statement
    ë                     # Else (`a` is 0):
     ®                    #  Push the `t-c` from the register
      ³Āi                 #  If the third input `b` is not 0:
         ³%               #   Take modulo `b`
    ]                     # Close both if-else statements
     _                    # And check if the result is 0
                          # (which is output implicitly)

Wolfram Language (Mathematica) , 38 bytes

Solve[n^2#+n#2+#3==#4,n,Integers]!={}&

Experimente online!

Gelatina , 15 bytes

_3¦UÆr=Ḟ$;3ị=ɗẸ

Experimente online!

O built-in ajuda aqui, mas não lida com a = b = 0, portanto isso é tratado especialmente.