Regras

Você vai começar com apenas dois elementos: Pontos e tal que . Esses pontos ocupam um plano infinito em todas as direções.$A$$B$$A \neq B$

Em qualquer etapa do processo, você pode executar qualquer uma das três ações a seguir:

1. Desenhe uma linha que passe por dois pontos.

2. Desenhe um círculo centrado em um ponto para que outro ponto esteja no círculo.

3. Adicione um novo ponto onde dois objetos (linhas e círculos) se cruzam.

Seu objetivo é criar 5 pontos para que eles formem os vértices de um pentágono regular (um polígono convexo com 5 lados iguais em comprimento) usando o mínimo de círculos possível. É claro que você pode ter outros pontos, mas cinco deles devem ter um pentágono regular. Você não precisa desenhar as bordas do pentágono para sua pontuação.

Pontuação

Ao comparar duas respostas, a que desenha menos círculos é melhor. No caso de um empate em círculos, a resposta que desenha o menor número de linhas é melhor. No caso de um empate em ambos os círculos e linhas, a resposta que acrescenta menos pontos é melhor.

Anti-Regras

Enquanto a lista de regras é exaustiva e detalha tudo o que você pode fazer, não é só porque eu não digo que você não pode fazer algo, não significa que você pode.

• Você não pode criar objetos "arbitrários". Algumas construções que você encontrará pensam como adicionar um ponto em um local "arbitrário" e trabalhar a partir daí. Você não pode adicionar novos pontos em locais que não sejam interseções.

• Você não pode copiar um raio. Algumas construções envolvem pegar uma bússola configurando-a em um raio entre dois pontos e depois pegá-la e desenhar um círculo em outro lugar. Você não pode fazer isso.

• Você não pode executar processos limitadores. Todas as construções devem ter um número finito de etapas. Não é bom o suficiente abordar a resposta assintoticamente.

• Você não pode desenhar um arco ou parte de um círculo para evitar contá-lo como um círculo na sua pontuação. Se você deseja usar visualmente arcos ao mostrar ou explicar sua resposta, porque eles ocupam menos espaço, vá em frente, mas eles contam como um círculo para a pontuação.

Ferramentas

Você pode pensar sobre o problema no GeoGebra . Basta ir para a guia formas. As três regras são equivalentes ao ponto, linha e círculo com as ferramentas centrais.

Ónus da prova

Isso é padrão, mas eu gostaria de reiterar. Se houver uma dúvida sobre se uma resposta específica é válida, o ônus da prova é o respondente mostrar que sua resposta é válida e não o público mostrar que a resposta não é.

O que isso está fazendo no meu site do Code-Golf ?!

Essa é uma forma de golfe com código atômico semelhante ao golfe de prova, embora em uma linguagem de programação estranha. Atualmente, existe um consenso de + 22 / -0 na meta de que esse tipo de coisa é permitido.

2 círculos, 13 linhas, 17 pontos

Experimente no GeoGebra

• Deixe o círculo (A, B) cruzar o círculo (B, A) em C e D.
• Deixe AB cruzar o círculo (A, B) novamente em E.
• Deixe AB cruzar o círculo (B, A) novamente em F.
• Deixe AD cruzar o círculo (A, B) novamente em G.
• Deixe AD cruzar CF em H.
• Deixe BG cruzar DF ​​em I.
• Deixe HI cruzar o círculo (A, B) em J e K.
• Vamos BG cruzar EJ em L.
• Vamos BJ cruzar EG em M.
• Deixe BG cruzar EK em N.
• Deixe BK cruzar EG em O.
• Permita que LM cruze o círculo (A, B) em P e S.
• Deixe NÃO cruzar o círculo (A, B) em Q e R.

Então o EPQRS é um pentágono regular.

Por que funciona

Seja BE interseção GJ em T e seja BE interseção GK em U. O BEGJ quadrilateral completo mostra que T é a polar de LM, que é a interseção das tangentes em P e S. Da mesma forma, o BEGK quadrilateral completo mostra que U é a polar do NO, que é a interseção das tangentes em Q e R.

Deixe FG interceptar HI em V. As diagonais DV e GI do DGVI quadrilateral completo cruzam FH em conjugados harmônicos em relação a F e H; como o primeiro está em ∞, o segundo é o ponto médio C de FH, ou seja, C, D, V são colineares.

Vamos CG cruzar HI em W.

Agora a parte divertida. A linha FUBAT é uma perspectiva sobre G para a linha VKIHJ, que é uma perspectiva sobre D para circundar CKDGJ, que é uma perspectiva sobre C para a linha HKVWJ, que é uma perspectiva sobre G para a linha AUF∞T. A composição dessas quatro perspectivas produz uma projetividade FUBAT ivity AUF∞T. Como uma projetividade unidimensional é determinada por três pontos, T e U são determinados como os dois pontos fixos do FBA ⌅ AF∞.

Atribuindo coordenadas com A = 0, B = −1, F = −2, essa projetividade é definida por x ↦ 4 / x + 2, e seus pontos fixos T = 1 + √5 = sec (2π / 5) e U = 1 - √5 = −seg (2π / 10), exatamente como necessário para tornar o EPQRS um pentágono regular.

7 6 círculos, 3 linhas

Esta é uma construção clássica do pentágono, uma prova de sua correção pode ser encontrada aqui .

4 círculos, 7 linhas

Como foi derrotado, pensei em publicar minha solução original para o problema. Esta solução é modificada a partir do método dado por Dixon em Mathographics , uma prova de correção para esse método pode ser encontrada aqui .

• $\mathrm{Circle}(A,B)$
• $\overline{AB}$
• $\mathrm{Circle}(A,B)$$\overline{AB}$$C$
• $\mathrm{Circle}(B,C)$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\mathrm{Circle}(B,C)$$D$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{AB}$$E$
• $\overline{DC}$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{DC}$$F$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\mathrm{Circle}(B,C)$$G$
• $\overline{BG}$
• $\overline{BG}$$\overline{EF}$$H$
• $\overline{HC}$
• $\overline{HC}$$\mathrm{Circle}(C,B)$$I$
• $\overline{IA}$
• $\overline{IA}$$\mathrm{Circle}(A,B)$$J$
• $\mathrm{Cirlce}(I,J)$
• $\mathrm{Circle}(I,J)$$\overline{HC}$$L$
• $\mathrm{Circle}(I,J)$$\mathrm{Circle}(C,B)$$M$$K$
• $\overline{ML}$
• $\overline{KL}$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{ML}$$N$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{HC}$$O$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{KL}$$P$

$MKPON$