Uma frase da teoria dos números (para nossos propósitos) é uma sequência dos seguintes símbolos:

• 0e '(sucessor) - sucessor significa +1, então0'''' = 0 + 1 + 1 + 1 + 1 = 4
• +(adição) e *(multiplicação)
• = (igual a)
• (e )(parênteses)
• o operador lógico nand( a nand bé not (a and b))
• forall (o quantificador universal)

• v0, v1, v2, Etc. (variáveis)

  Aqui está um exemplo de uma frase:

forall v1 (forall v2 (forall v3 (not (v1*v1*v1 + v2*v2*v2 = v3*v3*v3))))

Aqui not xestá uma abreviação de x nand x- a frase real usaria (v1*v1*v1 + v2*v2*v2 = v3*v3*v3) nand (v1*v1*v1 + v2*v2*v2 = v3*v3*v3), porque x nand x = not (x and x) = not x.

Isto indica que para cada combinação de três números naturais v1, v2e v3, não é o caso que v1 ³ + v2 ³ = v3 ³ (o que seria verdade, porque de último teorema de Fermat, exceto pelo fato de que ele iria ficar 0 ^ 3 + 0 ^ 3 = 0 ^ 3).

Infelizmente, como provado por Gödel, não é possível determinar se uma sentença na teoria dos números é verdadeira ou não.

Ele é possível, no entanto, se restringir o conjunto dos números naturais para um conjunto finito.

Portanto, esse desafio é determinar se uma sentença da teoria dos números é verdadeira ou não, quando usada no módulo n , para um número inteiro positivo n. Por exemplo, a frase

forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0)

(a declaração de que, para todos os números x, x ³ = x)

Não é verdadeiro para aritmética comum (por exemplo, 2 ³ = 8 ≠ 2), mas é verdadeiro quando usado no módulo 3:

0 * 0 * 0 ≡ 0 (mod 3)
1 * 1 * 1 ≡ 1 (mod 3)
2 * 2 * 2 ≡ 8 ≡ 2 (mod 3)

Formato de entrada e saída

A entrada é uma sentença e um número inteiro positivo nem qualquer formato "razoável". Aqui estão alguns exemplos de formatos razoáveis ​​para a frase forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0)no módulo de teoria dos números 3:

("forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0)", 3)
"3:forall v0 (((v0 * v0) * v0) = v0)"
"(forall v0)(((v0 * v0) * v0) = v0) mod 3" 
[3, "forall", "v0", "(", "(", "(", "v0", "*", "v0", ")", "*", "v0", ")", "=", "v0", ")"]
(3, [8, 9, 5, 5, 5, 9, 3, 9, 6, 3, 9, 6, 4, 9, 6]) (the sentence above, but with each symbol replaced with a unique number)
"f v0 = * * v0 v0 v0 v0"
[3, ["forall", "v0", ["=", ["*", "v0", ["*", "v0", "v0"]], "v0"]]]
"3.v0((v0 * (v0 * v0)) = v0)"

A entrada pode ser de stdin, um argumento de linha de comando, um arquivo etc.

O programa pode ter duas saídas distintas para saber se a sentença é verdadeira ou não, por exemplo, pode gerar yesse for verdadeira e nose não for.

Você não precisa suportar uma variável que é objeto de forallduas vezes, por exemplo (forall v0 (v0 = 0)) nand (forall v0 (v0 = 0)). Você pode assumir que sua entrada possui sintaxe válida.

Casos de teste

forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0) mod 3
true

forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0) mod 4
false (2 * 2 * 2 = 8 ≡ 0 mod 4)

forall v0 (v0 = 0) mod 1
true (all numbers are 0 modulo 1)

0 = 0 mod 8
true

0''' = 0 mod 3
true

0''' = 0 mod 4
false

forall v0 (v0' = v0') mod 1428374
true

forall v0 (v0 = 0) nand forall v1 (v1 = 0) mod 2
true (this is False nand False, which is true)

forall v0 ((v0 = 0 nand v0 = 0) nand ((forall v1 (v0 * v1 = 0' nand v0 * v1 = 0') nand forall v2 (v0 * v2 = 0' nand v0 * v2 = 0')) nand (forall v3 (v0 * v3 = 0' nand v0 * v3 = 0') nand forall v4 (v0 * v4 = 0' nand v0 * v4 = 0')))) mod 7
true
(equivalent to "forall v0 (v0 =/= 0 implies exists v1 (v0 * v1 = 0)), which states that every number has a multiplicative inverse modulo n, which is only true if n is 1 or prime)

forall v0 ((v0 = 0 nand v0 = 0) nand ((forall v1 (v0 * v1 = 0' nand v0 * v1 = 0') nand forall v2 (v0 * v2 = 0' nand v0 * v2 = 0')) nand (forall v3 (v0 * v3 = 0' nand v0 * v3 = 0') nand forall v4 (v0 * v4 = 0' nand v0 * v4 = 0')))) mod 4
false

Isso é código-golfe , então tente tornar o seu programa o mais curto possível!

Python 2 , 252 236 bytes

def g(n,s):
 if str(s)==s:return s.replace("'","+1")
 o,l,r=map(g,[n]*3,s);return['all((%s)for %s in range(%d))'%(r,l,n),'not((%s)*(%s))'%(l,r),'(%s)%%%d==(%s)%%%d'%(l,n,r,n),'(%s)%s(%s)'%(l,o,r)]['fn=+'.find(o)]
print eval(g(*input()))

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Recebe a entrada como prefixo-sintaxe aninhada, com em fvez de foralle em nvez de nand:

[3, ["f", "v0", ["=", ["*", "v0", ["*", "v0", "v0"]], "v0"]]]

APL (Dyalog Unicode) , 129 bytes ^SBCS

{x y z←3↑⍵⋄7≤x:y×7<x⋄5≡x:∧/∇¨y{⍵≡⍺⍺:⍵⍺⋄x y z←3↑⍵⋄7≤x:⍵⋄6≡x:x(⍺∇y)⋄x(⍺∇⍣(5≢x)⊢y)(⍺∇z)}∘z¨⍳⍺⍺⋄y←∇y⋄6≡x:1+y⋄y(⍎x⊃'+×⍲',⊂'0=⍺⍺|-')∇z}

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Toma uma árvore de sintaxe de prefixo, como na resposta python do TFeld , mas usando uma codificação inteira. A codificação é

plus times nand eq forall succ zero ← 1 2 3 4 5 6 7

e a cada variável é atribuído um número a partir de 8. Essa codificação é um pouco diferente da usada na versão sem golf abaixo, porque eu a aprimorei enquanto jogava o código.

A tarefa envolve apenas duas entradas (o AST e o módulo), mas escrevê-lo como um operador em vez de uma função evita mencionar o módulo muitas vezes (como sempre é realizado em chamadas recursivas).

Ungolfed com comentários

⍝ node types; anything ≥8 will be considered a var
plus times eq nand forall succ zero var←⍳8
⍝ AST nodes have 1~3 length, 1st being the node type
⍝ zero → zero, succ → succ arg, var → var | var value (respectively)

⍝ to (from replace) AST → transform AST so that 'from' var has the value 'to' attached
replace←{
  ⍵≡⍺⍺:⍵⍺             ⍝ variable found, attach the value
  x y z←3↑⍵
  zero≤x: ⍵           ⍝ zero or different variable: keep as is
  succ≡x: x(⍺∇y)      ⍝ succ: propagate to y
  forall≡x: x y(⍺∇z)  ⍝ forall: propagate to z
  x(⍺∇y)(⍺∇z)         ⍝ plus, times, eq, nand: propagate to both args
}
⍝ (mod eval) AST → evaluate AST with the given modulo
eval←{
  x y z←3↑⍵
  zero≡x:   0
  var≤x:    y                    ⍝ return attached value
  forall≡x: ∧/∇¨y replace∘z¨⍳⍺⍺  ⍝ check all replacements for given var
  succ≡x:   1+∇y
  plus≡x:   (∇y)+∇z
  times≡x:  (∇y)×∇z
  eq≡x:     0=⍺⍺|(∇y)-∇z         ⍝ modulo equality
  nand≡x:   (∇y)⍲∇z              ⍝ nand symbol does nand operation
}

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