O desafio

Escreva um programa ou função que não aceite nenhuma entrada e produza um vetor de comprimento em uma direção aleatória teoricamente uniforme .$1$

Isso é equivalente a um ponto aleatório na esfera descrito por

resultando em uma distribuição como essa

Saída

Três flutuadores de uma distribuição aleatória teoricamente uniforme para a qual a equação é verdadeira para os limites de precisão.$x^2+y^2+z^2=1$

Comentários do desafio

• A distribuição aleatória precisa ser teoricamente uniforme . Ou seja, se o gerador de números pseudo-aleatórios fosse substituído por um RNG verdadeiro a partir dos números reais , isso resultaria em uma distribuição aleatória uniforme de pontos na esfera.
• Gerar três números aleatórios a partir de uma distribuição uniforme e normalizá-los é inválido: haverá um viés nos cantos do espaço tridimensional.
• Da mesma forma, gerar dois números aleatórios a partir de uma distribuição uniforme e usá-los como coordenadas esféricas é inválido: haverá um viés em direção aos pólos da esfera.
• A uniformidade adequada pode ser alcançada por algoritmos, incluindo, entre outros:
  • Gerar três números aleatórios de $x$ , $y$ e $z$ de um normal de distribuição (Gaussiana) em torno de $0$ e normalizar-los.
    • Exemplo de implementação
  • Gerar três números aleatórios de $x$ , $y$ e $z$ a partir de uma uniforme distribuição na gama de $(-1,1)$ . Calcule o comprimento do vetor por $l=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ . Então, se$l>1$, rejeite o vetor e gere um novo conjunto de números. Caso contrário, se$l \leq 1$, normalize o vetor e retorne o resultado.
    • Exemplo de implementação
  • Gerar dois números aleatórios $i$ e $j$ de uma uniforme distribuição na gama $(0,1)$ e convertê-los em coordenadas esféricas assim: $$\begin{align}\theta &= 2 \times \pi \times i\\\\\phi &= \cos^{-1}(2\times j -1)\end{align}$$ para que$x$,$y$e$z$possam ser calculados por $$\begin{align}x &= \cos(\theta) \times \sin(\phi)\\\\y &= \sin(\theta) \times \sin(\phi)\\\\z &= \cos(\phi)\end{align}$$
    • Exemplo de implementação
• Forneça na sua resposta uma breve descrição do algoritmo que você está usando.
• Leia mais sobre a escolha de pontos de esfera no MathWorld .

Exemplos de saída

[ 0.72422852 -0.58643067  0.36275628]
[-0.79158628 -0.17595886  0.58517488]
[-0.16428481 -0.90804027  0.38532243]
[ 0.61238768  0.75123833 -0.24621596]
[-0.81111161 -0.46269121  0.35779156]

Observações gerais

• Isso é código-golfe , então a resposta usando o menor número de bytes em cada idioma vence.
• Regras padrão , regras de E / S e regras de brecha são aplicadas.
• Inclua um link Experimente online ou equivalente para demonstrar o funcionamento do seu código.
• Motive sua resposta com uma explicação do seu código.

Wolfram Language (Mathematica) , 20 bytes

RandomPoint@Sphere[]

Experimente online!

Faz exatamente o que diz na lata.

R , 23 bytes

x=rnorm(3)
x/(x%*%x)^.5

Experimente online!

Gera 3 realizações da distribuição $\mathcal N(0,1)$ e normaliza o vetor resultante.

Gráfico de 1000 realizações:

x86-64 Código da máquina - 63 62 55 49 bytes

6A 4F                push        4Fh  
68 00 00 80 3F       push        3F800000h  
C4 E2 79 18 4C 24 05 vbroadcastss xmm1,dword ptr [rsp+5]  
rand:
0F C7 F0             rdrand      eax  
73 FB                jnc         rand  
66 0F 6E C0          movd        xmm0,eax  
greaterThanOne:
66 0F 38 DC C0       aesenc      xmm0,xmm0  
0F 5B C0             cvtdq2ps    xmm0,xmm0  
0F 5E C1             divps       xmm0,xmm1  
C4 E3 79 40 D0 7F    vdpps       xmm2,xmm0,xmm0,7Fh  
0F 2F 14 24          comiss      xmm2,dword ptr [rsp]  
75 E9                jne         greaterThanOne
58                   pop         rax  
58                   pop         rax  
C3                   ret  

Usa o segundo algoritmo, modificado. Retorna o vetor de [x, y, z, 0]em xmm0.

Explicação:

push 4Fh
push 3f800000h

Empurra o valor para 1 e 2 ^ 31 como um float para a pilha. Os dados se sobrepõem devido à extensão do sinal, economizando alguns bytes.

vbroadcastss xmm1,dword ptr [rsp+5] Carrega o valor de 2 ^ 31 em 4 posições de xmm1.

rdrand      eax  
jnc         rand  
movd        xmm0,eax

Gera um número inteiro aleatório de 32 bits e o carrega na parte inferior de xmm0.

aesenc      xmm0,xmm0  
cvtdq2ps    xmm0,xmm0  
divps       xmm0,xmm1 

Gera um número inteiro aleatório de 32 bits, converte-o em float (assinado) e divida por 2 ^ 31 para obter números entre -1 e 1.

vdpps xmm2,xmm0,xmm0,7Fhadiciona os quadrados dos 3 carros alegóricos inferiores usando um produto pontilhado, mascarando o carro alegórico superior. Isso dá o comprimento

comiss      xmm2,dword ptr [rsp]  
jne          rand+9h (07FF7A1DE1C9Eh)

Compara o comprimento ao quadrado com 1 e rejeita os valores se não for igual a 1. Se o comprimento ao quadrado for um, o comprimento também será um. Isso significa que o vetor já está normalizado e salva uma raiz quadrada e divide.

pop         rax  
pop         rax 

Restaure a pilha.

ret retorna valor em xmm0

Experimente online .

Python 2 , 86 bytes

from random import*;R=random
z=R()*2-1
a=(1-z*z)**.5*1j**(4*R())
print a.real,a.imag,z

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Gera a coordenada z uniformemente de -1 a 1. Em seguida, as coordenadas x e y são amostradas uniformemente em um círculo de raio (1-z*z)**.5.

Pode não ser óbvio que a distribuição esférica seja fator uniforme sobre a coordenada z (e também sobre todas as coordenadas). Isso é algo especial para a dimensão 3. Veja esta prova de que a área de superfície de uma fatia horizontal de uma esfera é proporcional à sua altura. Embora as fatias próximas ao equador tenham um raio maior, as fatias próximas ao polo têm mais um título para dentro, e esses dois efeitos são exatamente cancelados.

Para gerar um ângulo aleatório nesse círculo, elevamos a unidade imaginária 1ja uma potência aleatória uniforme entre 0 e 4, o que nos impede de precisar de funções trigonométricas, pi ou e, qualquer uma das quais precisaria de uma importação. Extraímos então a parte imaginária real. Se pudermos gerar um número complexo para duas das coordenadas, a última linha pode ser apenas print a,z.

86 bytes

from random import*
a,b,c=map(gauss,[0]*3,[1]*3)
R=(a*a+b*b+c*c)**.5
print a/R,b/R,c/R

Experimente online!

Gera três normais e dimensiona o resultado.

Python 2 com numpy, 57 bytes

from numpy import*
a=random.randn(3)
print a/sum(a*a)**.5

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sum(a*a)**.5é mais curto que linalg.norm(a). Também poderíamos fazer dot(a,a)o mesmo tamanho que sum(a*a). No Python 3, isso pode ser reduzido para o a@auso do novo operador @.

Oitava , 40 33 22 bytes

Amostramos de uma distribuição normal padrão 3d e normalizamos o vetor:

(x=randn(1,3))/norm(x)

Experimente online!

Unidade C # , 34 bytes

f=>UnityEngine.Random.onUnitSphere

O Unity tem um builtin para valores aleatórios da esfera unitária, então pensei em publicá-lo.

MATL , 10 bytes

1&3Xrt2&|/

Experimente online!

Explicação

Isso usa a primeira abordagem descrita no desafio.

1&3Xr  % Generate a 1×3 vector of i.i.d standard Gaussian variables
t      % Duplicate
2&|    % Compute the 2-norm
/      % Divide, element-wise. Implicitly display

Ruby , 34 50 49 bytes

->{[z=rand*2-1]+((1-z*z)**0.5*1i**(rand*4)).rect}

Experimente online!

Retorna uma matriz de 3 números [z,y,x].

xe ysão gerados pelo aumento i(raiz quadrada de -1) de uma potência aleatória entre 0 e 4. Esse número complexo precisa ser dimensionado adequadamente de acordo com o zvalor de acordo com o teorema de Pitágoras:(x**2 + y**2) + z**2 = 1.

A zcoordenada (que é gerada primeiro) é simplesmente um número uniformemente distribuído entre -1 e 1. Embora não seja imediatamente óbvio, dA / dz para uma fatia na esfera é constante (e igual ao perímetro de um círculo com o mesmo raio que toda a esfera).

Aparentemente, isso foi descoberto por Arquimedes, que o descreveu de uma maneira muito não-calculista, e é conhecido como teorema de Archimedes Hat-Box. Veja https://brilliant.org/wiki/surface-area-sphere/

Outra referência dos comentários sobre a resposta do xnor. Um URL surpreendentemente curto, descrevendo uma fórmula surpreendentemente simples: http://mathworld.wolfram.com/Zone.html

05AB1E , 23 22 bytes

[тε5°x<Ýs/<Ω}DnOtDî#}/

Implementa o segundo algoritmo.

Experimente online ou obtenha mais algumas saídas aleatórias .

Explicação:

$[0,1)$$0.00001$$0.000000001$ , alterando o5 para 9no código (embora se torne bastante lento ..).

[            # Start an infinite loop:
 тε          #  Push 100, and map (basically, create a list with 3 values):
   5°        #   Push 100,000 (10**5)
     x       #   Double it to 200,000 (without popping)
      <      #   Decrease it by 1 to 199,999
       Ý     #   Create a list in the range [0, 199,999]
        s/   #   Swap to get 100,000 again, and divide each value in the list by this
          <  #   And then decrease by 1 to change the range [0,2) to [-1,1)
           Ω #   And pop and push a random value from this list
  }          #  After the map, we have our three random values
   D         #   Duplicate this list
    n        #   Square each inner value
     O       #   Take the sum of these squares
      t      #   Take the square-root of that
       D     #   Duplicate that as well
        î    #   Ceil it, and if it's now exactly 1:
         #   #    Stop the infinite loop
}/           # After the infinite loop: normalize by dividing
             # (after which the result is output implicitly)

TI-BASIC, 15 bytes ^*

:randNorm(0,1,3
:Ans/√(sum(Ans²

Usando o algoritmo "gere 3 valores normalmente distribuídos e normalize esse vetor".

O encerramento de um programa com uma expressão imprime automaticamente o resultado na Tela inicial após o término do programa, para que o resultado seja realmente mostrado, não apenas gerado e perfurado.

*: randNorm(é um token de dois bytes , o restante são tokens de um byte . Eu contei o inicial (inevitável) :, sem isso, seriam 14 bytes. Salvo como um programa com um nome de uma letra, são necessários 24 bytes de memória, que incluem os 9 bytes de sobrecarga do sistema de arquivos.

JavaScript (ES7),  77 76  75 bytes

$\sin(\phi)=\sin(\cos^{-1}(z))=\sqrt{1-z^2}$

with(Math)f=_=>[z=2*(r=random)()-1,cos(t=2*PI*r(q=(1-z*z)**.5))*q,sin(t)*q]

Experimente online!

Comentado

with(Math)                       // use Math
f = _ =>                         //
  [ z = 2 * (r = random)() - 1,  // z = 2 * j - 1
    cos(                         //
      t =                        // θ =
        2 * PI *                 //   2 * π * i
        r(q = (1 - z * z) ** .5) // q = sin(ɸ) = sin(arccos(z)) = √(1 - z²)
                                 // NB: it is safe to compute q here because
                                 //     Math.random ignores its parameter(s)
    ) * q,                       // x = cos(θ) * sin(ɸ)
    sin(t) * q                   // y = sin(θ) * sin(ɸ)
  ]                              //

JavaScript (ES6), 79 bytes

Implementa o ^2º algoritmo.

f=_=>(n=Math.hypot(...v=[0,0,0].map(_=>Math.random()*2-1)))>1?f():v.map(x=>x/n)

Experimente online!

Comentado

f = _ =>                         // f is a recursive function taking no parameter
  ( n = Math.hypot(...           // n is the Euclidean norm of
      v =                        // the vector v consisting of:
        [0, 0, 0].map(_ =>       //
          Math.random() * 2 - 1  //   3 uniform random values in [-1, 1]
        )                        //
  )) > 1 ?                       // if n is greater than 1:
    f()                          //   try again until it's not
  :                              // else:
    v.map(x => x / n)            //   return the normalized vector

Processando 26 bytes

Programa completo

print(PVector.random3D());

Esta é a implementação https://github.com/processing/processing/blob/master/core/src/processing/core/PVector.java

  static public PVector random3D(PVector target, PApplet parent) {
    float angle;
    float vz;
    if (parent == null) {
      angle = (float) (Math.random()*Math.PI*2);
      vz    = (float) (Math.random()*2-1);
    } else {
      angle = parent.random(PConstants.TWO_PI);
      vz    = parent.random(-1,1);
    }
    float vx = (float) (Math.sqrt(1-vz*vz)*Math.cos(angle));
    float vy = (float) (Math.sqrt(1-vz*vz)*Math.sin(angle));
    if (target == null) {
      target = new PVector(vx, vy, vz);
      //target.normalize(); // Should be unnecessary
    } else {
      target.set(vx,vy,vz);
    }
    return target;
  }

Python 2 , 86 bytes

from random import*
x,y,z=map(gauss,[0]*3,[1]*3);l=(x*x+y*y+z*z)**.5
print x/l,y/l,z/l

Experimente online!

Implementa o primeiro algoritmo.

Python 2 , 107 103 bytes

from random import*
l=2
while l>1:x,y,z=map(uniform,[-1]*3,[1]*3);l=(x*x+y*y+z*z)**.5
print x/l,y/l,z/l

Experimente online!

Implementa o segundo algoritmo.

Haskell , 125 123 119 118 bytes

import System.Random
f=mapM(\_->randomRIO(-1,1))"lol">>= \a->last$f:[pure$(/n)<$>a|n<-[sqrt.sum$map(^2)a::Double],n<1]

Experimente online!

Faz três randoms uniformes e amostragem de rejeição.

JavaScript, 95 bytes

f=(a=[x,y,z]=[0,0,0].map(e=>Math.random()*2-1))=>(s=Math.sqrt(x*x+y*y+z*z))>1?f():a.map(e=>e/s)

Você não precisa não inserir a.

Julia 1.0 , 24 bytes

x=randn(3)
x/hypot(x...)

Experimente online!

Desenha um vetor de 3 valores, desenhado a partir de uma distribuição normal em torno de 0 com desvio padrão 1. Em seguida, apenas os normaliza.

MathGolf , 21 19 18 bytes

{╘3Ƀ∞(ß_²Σ√_1>}▲/

Implementação do 2º algoritmo.

Experimente online ou veja mais algumas saídas ao mesmo tempo .

Explicação:

{              }▲   # Do-while true by popping the value:
 ╘                  #  Discard everything on the stack to clean up previous iterations
  3É                #  Loop 3 times, executing the following three operations:
    ƒ               #   Push a random value in the range [0,1]
     ∞              #   Double it to make the range [0,2]
      (             #   Decrease it by 1 to make the range [-1,1]
       ß            #  Wrap these three values into a list
        _           #  Duplicate the list of random values
         ²          #  Square each value in the list
          Σ         #  Sum them
           √        #  And take the square-root of that
            _       #  Duplicate it as well
             1>     #  And check if it's larger than 1
                 /  # After the do-while, divide to normalize
                    # (after which the entire stack joined together is output implicitly,
                    #  which is why we need the `╘` to cleanup after every iteration)

Java 8 ( terceiro algoritmo modificado por @Arnauld ), 131 126 119 111 109 bytes

v->{double k=2*M.random()-1,t=M.sqrt(1-k*k),r[]={k,M.cos(k=2*M.PI*M.random())*t,M.sin(k)*t};return r;}

Porta da resposta JavaScript de @Arnauld , certifique-se de vomitá-lo!
-2 bytes graças a @ OlivierGrégoire .

Isso é implementado como:

$k = N\cap[-1,1)$
$t=\sqrt{1-k^2}$
$u=2\pi×(N\cap[0,1))$
$x,y,z = \{k, \cos(u)×t, \sin(u)×t\}$

Experimente online.

Implementação anterior do terceiro algoritmo ( 131 126 119 bytes):

Math M;v->{double k=2*M.random()-1,t=2*M.PI*M.random();return k+","+M.cos(t)*M.sin(k=M.acos(k))+","+M.sin(t)*M.sin(k);}

Implementado como:

$k = N\cap[-1,1)$
$t=2\pi×(N\cap[0,1))$
$x,y,z = \{k, \cos(t)×\sin(\arccos(k)), \sin(t)×\sin(\arccos(k))\}$

Experimente online.

Explicação:

Math M;                         // Math on class-level to use for static calls to save bytes
v->{                            // Method with empty unused parameter & double-array return
  double k=2*M.random()-1,      //  Get a random value in the range [-1,1)
         t=M.sqrt(1-k*k),       //  Calculate the square-root of 1-k^2
    r[]={                       //  Create the result-array, containing:
         k,                     //   X: the random value `k`
         M.cos(k=2*M.PI         //   Y: first change `k` to TAU (2*PI)
                     *M.random()//       multiplied by a random [0,1) value
                )               //      Take the cosine of that
                 *t,            //      and multiply it by `t`
         M.sin(k)               //   Z: Also take the sine of the new `k` (TAU * random)
                  *t};          //      And multiply it by `t` as well
  return r;}                    //  Return this array as result

Java 8 (segundo algoritmo), 153 143 bytes

v->{double x=2,y=2,z=2,l;for(;(l=Math.sqrt(x*x+y*y+z*z))>1;y=m(),z=m())x=m();return x/l+","+y/l+","+z/l;};double m(){return Math.random()*2-1;}

Experimente online.

2º algoritmo:

v->{                              // Method with empty unused parameter & String return-type
  double x=2,y=2,z=2,l;           //  Start results a,b,c all at 2
  for(;(l=Math.sqrt(x*x+y*y+z*z)) //  Loop as long as the hypotenuse of x,y,z
       >1;                        //  is larger than 1
    y=m(),z=m())x=m();            //   Calculate a new x, y, and z
  return x/l+","+y/l+","+z/l;}    //  And return the normalized x,y,z as result
double m(){                       // Separated method to reduce bytes, which will:
  return Math.random()*2-1;}      //  Return a random value in the range [-1,1)

Japonês , 20 bytes

Implementação do 2º algoritmo de Port of Arnauld .

MhV=3ÆMrJ1
>1?ß:V®/U

Teste-o

MhV=3ÆMrJ1
Mh             :Get the hypotenuse of
  V=           :  Assign to V
    3Æ         :  Map the range [0,3)
      Mr       :    Random float
        J1     :    In range [-1,1)
>1?ß:V®/U      :Assign result to U
>1?            :If U is greater than 1
   ß           :  Run the programme again
    :V®/U      :Else map V, dividing all elements by U

Pitão , 24 bytes

W<1Ks^R2JmtO2.0 3;cR@K2J

Experimente online!

Usa o algoritmo nº 2

W                         # while 
 <1                       #   1 < 
   Ks                     #       K := sum(
     ^R2                  #               map(lambda x:x**2,
        Jm      3         #                    J := map(                            , range(3))
          tO2.0           #                             lambda x: random(0, 2.0) - 1           )):
                 ;        #   pass
                   R   J  # [return] map(lambda x:            , J)
                  c @K2   #                        x / sqrt(K)

OCaml , 110 99 95 bytes

(fun f a c s->let t,p=f 4.*.a 0.,a(f 2.-.1.)in[c t*.s p;s t*.s p;c p])Random.float acos cos sin

EDIT: Raspado alguns bytes, inlining $i$ e $j$, substituindo o primeiro let ... inpor a fune aproveitando a associatividade do operador para evitar alguns parênteses ().

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Solução original:

Random.(let a,c,s,i,j=acos,cos,sin,float 4.,float 2. in let t,p=i*.(a 0.),a (j-.1.) in[c t*.s p;s t*.s p;c p])

Primeiro eu defino:

A Random.floatfunção do OCaml inclui os limites. Então,

Isso é muito semelhante ao terceiro exemplo de implementação (com $\phi = p$ e $\theta = t$) $-$ exceto que eu escolho $i$ e $j$ em intervalos maiores para evitar a multiplicação (com 2) posteriormente.