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Objetivo

Seu objetivo é multiplicar dois números usando apenas um conjunto muito limitado de operações aritméticas e atribuição de variáveis.

1. Adição x,y -> x+y
2. Recíproco x -> 1/x( não divisão x,y -> x/y)
3. Negação x -> -x( não subtração x,y -> x-y, embora você possa fazer isso como duas operações x + (-y))
4. A constante 1(nenhuma outra constante é permitida, exceto como produzida pelas operações de 1)
5. Atribuição variável [variable] = [expression]

Pontuação: Os valores começam nas variáveis ae b. Seu objetivo é salvar o produto a*bna variável cusando o mínimo de operações possível. Cada operação e atribuição +, -, /, =custa um ponto (equivalentemente, cada uso de (1), (2), (3) ou (4)). As constantes 1são gratuitas. A solução com menos pontos ganha. O desempate é o primeiro post.

Permissão: Sua expressão deve estar aritmeticamente correta para reais ae "aleatórios" b. Ele pode falhar num subconjunto medida de zero de R ² , isto é, um conjunto que não tem nenhuma área se representados graficamente na a- bplano cartesiano. (É provável que isso seja necessário devido a recíprocas de expressões que possam ser 0semelhantes 1/a.)

Gramática:

Este é um código-atômico-golfe . Nenhuma outra operação pode ser usada. Em particular, isso significa que não há funções, condicionais, loops ou tipos de dados não numéricos. Aqui está uma gramática para as operações permitidas (as possibilidades são separadas por |). Um programa é uma sequência de <statement>s, onde a <statement>é dada da seguinte maneira.

<statement>: <variable> = <expr>
<variable>: a | b | c | [string of letters of your choice]
<expr>: <arith_expr> | <variable> | <constant>
<arith_expr>: <addition_expr> | <reciprocal_expr> | <negation_expr> 
<addition_expr>: <expr> + <expr>
<reciprocal_expr>: 1/(<expr>)
<negation_expr>: -<expr>
<constant>: 1

Na verdade, você não precisa postar código nesta gramática exata, desde que fique claro o que você está fazendo e sua contagem de operações esteja correta. Por exemplo, você pode escrever a-bpara o a+(-b)e contá-lo como duas operações, ou definir macros para brevidade.

(Havia uma pergunta anterior Multiplicar sem Multiplicar , mas permitia um conjunto de operações muito mais flexível.)

22 operações

itx = 1/(1+a+b)     #4
nx = -1/(itx+itx)   #4
c = -( 1/(itx + itx + 1/(1+nx)) + 1/(1/(a+nx) + 1/(b+nx)) ) #14

Experimente online!

As operações são 10 adições, 7 inversas, 2 negações e 3 atribuições.

Então, como eu consegui isso? Comecei com o modelo de aparência promissora da soma de duas frações de dois andares, um motivo que havia aparecido em muitas tentativas anteriores.

c = 1/(1/x + 1/y) + 1/(1/z + 1/w)

Quando restringimos a soma x+y+z+w=0, ocorre um cancelamento bonito, fornecendo:

c = (x+z)*(y+z)/(x+y),

que contém um produto. (Muitas vezes é mais fácil obter t*u/vdo que t*uporque o primeiro tem o grau 1.)

Existe uma maneira mais simétrica de pensar sobre essa expressão. Com a restrição x+y+z+w=0, seus valores são especificados por três parâmetros p,q,rde suas somas em pares.

 p = x+y
-p = z+w
 q = x+z
-q = y+w
 r = x+w
-r = y+z

e nós temos c=-q*r/p. A soma pé distinguida como estando no denominador por corresponder aos pares (x,y)e (z,w)às variáveis ​​que estão na mesma fração.

Esta é uma boa expressão para cin p,q,r, mas a fração de dois andares está em, x,y,z,wportanto devemos expressar a primeira em termos da segunda:

x = ( p + q + r)/2
y = ( p - q - r)/2
z = (-p + q - r)/2
w = (-p - q + r)/2

Agora, queremos escolher p,q,rpara que c=-q*r/pseja igual a*b. Uma escolha é:

p = -4
q = 2*a
r = 2*b

Em seguida, os valores dobrados qe rsão convenientemente divididos pela metade em:

x = -2 + a + b
y = -2 - a - b
z =  2 + a - b
w =  2 - a + b

Salvar 2como variável te conectá-los à equação de cfornece uma solução 24-op.

#24 ops
t = 1+1   #2
c = 1/(1/(-t+a+b) + 1/-(t+a+b))  +  1/(1/(-b+t+a) + 1/(-a+b+t)) #1, 10, 1, 10

Existem 12 adições, 6 inversas, 4 negações e 2 atribuições.

Muitas operações são gastas expressando x,y,z,wem termos de 1,a,b. Para salvar ops, expresse xem p,q,r(e assim a,b,1) e depois escreva y,z,wem termos de x.

y = -x + p
z = -x + q
w = -x + r

Escolhendo

p = 1
q = a
r = b

e expressando ccom uma negação como c=-q*r/p, temos

x = (1+a+b)/2
y = -x + 1
z = -x + a
w = -x + b

Infelizmente, reduzir para metade xé caro. Isso precisa ser feito invertendo, adicionando o resultado a si próprio e invertendo novamente. Nós também negate para produzir nxpara -x, uma vez que é o que y,z,wuso. Isso nos dá a solução 23-op:

#23 ops
itx = 1/(1+a+b)     #4
nx = -1/(itx+itx)   #4
c = -( 1/(1/(-nx) + 1/(1+nx))  +  1/(1/(a+nx) + 1/(b+nx)) ) #15

itxé 1 / (2 * x) e nxé -x. Uma otimização final da expressão 1/xcomo em itx+itxvez do modelo 1/(-nx)corta um caractere e reduz a solução para 22 operações.

23 operações

z = 1/(1/(1/(1/(a+1)+1/(b+1))-1+1/(a+b+1+1))-(1/a+1/b))
res = z+z

prova por explosão:

z = 1/(1/(1/(1/(a+1)+1/(b+1))-1+1/(a+b+1+1))-(1/a+1/b))
             1/(a+1)+1/(b+1)                            == (a+b+2) / (ab+a+b+1)
          1/(1/(a+1)+1/(b+1))                           == (ab+a+b+1) / (a+b+2)
          1/(1/(a+1)+1/(b+1))-1                         == (ab - 1) / (a+b+2)
          1/(1/(a+1)+1/(b+1))-1+1/(a+b+1+1)             == ab / (a+b+2)
       1/(1/(1/(a+1)+1/(b+1))-1+1/(a+b+1+1))            == (a+b+2) / ab
                                              1/a+1/b   == (a+b) / ab
       1/(1/(1/(a+1)+1/(b+1))-1+1/(a+b+1+1))-(1/a+1/b)  == 2 / ab
    1/(1/(1/(1/(a+1)+1/(b+1))-1+1/(a+b+1+1))-(1/a+1/b)) == ab / 2

z = ab / 2 and therefore z+z = ab

Eu abusei do wolfram alpha para obter essa imagem bonita (o wolfram alpha tentou me inscrever no pro para salvá-lo, mas depois ctrl-c ctrl-v ;-)):

score (com adição +de subtração):

z = ////++/++-+/++++-/+/
res = +

29 operações

Não funciona para o conjunto {(a, b) ∈ R ² | a + b = 0 ou a + b = -1 ou ab = 0 ou ab = -1}. Provavelmente isso é zero?

sum = a+b
nb = -b
diff = a+nb
rfc = 1/(1/(1/sum + -1/(sum+1)) + -1/(1/diff + -1/(diff+1)) + nb + nb)  # rfc = 1/4c
c = 1/(rfc + rfc + rfc + rfc)

# sum  is  2: =+
# nb   is  2: =-
# diff is  2: =+
# rfc  is 18: =///+-/++-//+-/+++
# c    is  5: =/+++
# total = 29 operations

A estrutura de rfc(Recíproco-Quatro-C) é mais evidente se definirmos uma macro:

s(x) = 1/(1/x + -1/(x+1))              # //+-/+ (no = in count, macros don't exist)
rfc = 1/(s(sum) + - s(diff) + nb + nb) # =/s+-s++ (6+2*s = 18)

Vamos fazer as contas:

• s(x), matematicamente, é o 1/(1/x - 1/(x+1))que é depois de um pouco de álgebra é x*(x+1)ou x*x + x.
• Quando você submete tudo rfc, é realmente o 1/((a+b)*(a+b) + a + b - (a-b)*(a-b) - a + b + (-b) + (-b))que é justo 1/((a+b)^2 - (a-b)^2).
• Depois diferença de quadrados, ou apenas a expansão simples, você tem que rfcé 1/(4*a*b).
• Finalmente, cé o recíproco de 4 vezes rfc, assim 1/(4/(4*a*b))se torna a*b.

27 operações

tmp = 1/(1/(1+(-1/(1/(1+(-a))+1/(1+b))))+1/(1/(1/b+(-1/a))+1/(a+(-b))))
res = tmp+tmp+(-1)

# tmp is 23: =//+-//+-+/++///+-/+/+-
# res is 4: =++-

Não há teoria por trás disso. Eu apenas tentei começar (const1+a*b)/const2e comecei com (1/(1-a)+1/(1+b))e (-1/a+1/b).