Mathematica 18 17 caracteres
Eu escolhi usar, como uma medida do "melhor", o número de termos em uma representação de fração contínua de π. Por esse critério, as melhores aproximações racionais de π são seus convergentes.
Existem 10 convergentes de π com um denominador menor que um milhão. Isso é menor do que os 167 termos solicitados, mas eu o incluo aqui porque pode ser do interesse de outras pessoas.
Convergents[π, 10]
(* out *)
{3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104348/33215, 208341/66317,
312689/99532, 833719/265381, 1146408/364913}
Se você realmente deseja ver o denominador para o primeiro convergente, custará 11 caracteres adicionais:
Convergents[π, 10] /. {3 -> "3/1"}
(* out *)
{"3/1", 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104348/33215,
208341/66317, 312689/99532, 833719/265381, 1146408/364913}
Para aqueles interessados, a seguir, são mostradas as relações entre convergentes, quocientes parciais e expressão contínua da fração de convergentes de π:
Table[ContinuedFraction[π, k], {k, 10}]
w[frac_] := Row[{Fold[(#1^-1 + #2) &, Last[#], Rest[Reverse[#]]] &[Text@Style[#, Blue, Bold, 14] & /@ ToString /@ ContinuedFraction[frac]]}];
w /@ FromContinuedFraction /@ ContinuedFraction /@ Convergents[π, 10]
Por favor, desculpe a formatação inconsistente das frações continuadas.
"#{Math.PI}"
.