Dado um polinômio, determine se é primo.

Um polinômio é ax^n + bx^(n-1) + ... + dx^3 + ex^2 + fx + g, onde cada termo é um número constante (o coeficiente) multiplicado por uma potência inteira não negativa de x. A potência mais alta com um coeficiente diferente de zero é chamada de grau. Para esse desafio, consideramos apenas polinômios de pelo menos grau 1. Ou seja, cada polinômio contém alguns x. Além disso, usamos apenas polinômios com coeficientes inteiros.

Polinômios podem ser multiplicados. Por exemplo, (x+3)(2x^2-2x+3)é igual 2x^3+4x^2-3x+9. Assim, 2x^3+4x^2-3x+9pode ser considerado x+3e 2x^2-2x+3, portanto, é composto.

Outros polinômios não podem ser fatorados. Por exemplo, 2x^2-2x+3não é o produto de dois polinômios (ignorando polinômios constantes ou com coeficientes não inteiros). Por isso, é primo (também conhecido como irredutível).

Regras

• A entrada e a saída podem ser feitas de qualquer maneira padrão.
• A entrada pode ser uma sequência 2x^2-2x+3, uma lista de coeficientes {2,-2,3}, ou qualquer outro meio semelhante.
• A saída é um valor verdadeiro, se for primo, ou um valor falsey, se for composto. Você deve produzir o mesmo valor de verdade para todos os números primos e o mesmo valor de falsey para todos os polinômios compostos.
• A entrada será de no mínimo 1 e no máximo 10.
• Você não pode usar ferramentas internas para fatoração (de números inteiros ou expressões) ou solução de equações.

Exemplos

Verdadeiro - principal

x+3
-2x
x^2+x+1
x^3-3x-1
-2x^6-3x^4+2
3x^9-8x^8-3x^7+2x^3-10

Falso - composto

x^2
x^2+2x+1
x^4+2x^3+3x^2+2x+1
-3x^7+5x^6-2x
x^9-8x^8+7x^7+19x^6-10x^5-35x^4-14x^3+36x^2+16x-12

Mathematica, 224 bytes

f@p_:=(e=p~Exponent~x;r=Range[⌈e/-4⌉,(e+2)/4];e<2||FreeQ[PolynomialRemainder[p,Thread@{r,#}~InterpolatingPolynomial~x,x]&/@Tuples[#~Join~-#&[Join@@Position[#/Range@Abs@#,_Integer]]&/@#]~DeleteCases~{(a_)..},0|{}]&[p/.x->r])

Explicação :

O método de Kronecker é usado aqui. Esse método gera certos polinômios de menor grau e testa se existe um fator do polinômio original.

Casos de teste :

f/@{x+3, -2x, x^2+x+1, x^3-3x-1, -2x^6-3x^4+2, 3x^9-8x^8-3x^7+2x^3-10}
(* {True, True, True, True, True, True} *)

f/@{x^2, x^2+2x+1, x^4+2x^3+3x^2+2x+1, -3x^7+5x^6-2x, x^9-8x^8+7x^7+19x^6-10x^5-35x^4-14x^3+36x^2+16x-12}
(* {True, True, True, True, True} *)

Leva 14s no meu laptop para concluir que 3x^9-8x^8-3x^7+2x^3-10é o melhor.

PARI / GP, 16 bytes, barato como o inferno

Por alguma razão, isso não foi permitido (observando que o comando não fatora ou resolve a equação):

polisirreducible

Caso de teste

%(x^2+x+1)

retorna 1(verdadeiro). Os outros exemplos funcionam da mesma forma.

Mas para mostrar que isso é solucionável da maneira mais difícil, aqui está uma solução completa.

Menos barato, mas sloooooooooow

Realmente não faz sentido jogar isso.

Beauzamy(P)=
{
  my(d=poldegree(P),s,c);
  s=sum(i=0,d,polcoeff(P,i)^2/binomial(d,i));
  c = 3^(3/2 + d);
  c *= s / (4*d*Pi);
  abs(c * pollead(P))
}
factorpol(P)=
{
  my(B=Beauzamy(P)\1, t=B*2+1, d=poldegree(P)\2, Q);
  for(i=0,t^(d+1)-1,
    Q=Pol(apply(n->n-B, digits(i,t)));
    if(Q && poldegree(Q) && P%Q==0, return(Q))
  );
  0
}
irr(P)=
{
  factorpol(P)==0
}

Edit: Os comentaristas apontaram que o primeiro método pode ser desaprovado pelo bom gosto, o espírito das regras, a Convenção de Genebra, as regras padrão das brechas, etc. Não concordo, mas, de qualquer forma, postei a segunda versão juntamente com o primeiro e certamente parece aceitável.