O desafio

Considere o seguinte diagrama do Quinze quebra-cabeças em seu estado resolvido:

_____________________
|    |    |    |    |
| 1  | 2  | 3  | 4  |
|____|____|____|____|
|    |    |    |    |
| 5  | 6  | 7  | 8  |
|____|____|____|____|
|    |    |    |    |
| 9  | 10 | 11 | 12 |
|____|____|____|____|
|    |    |    |    |
| 13 | 14 | 15 |    |
|____|____|____|____|

A cada movimento, um quebra-cabeças animado tem a oportunidade de mover uma peça adjacente ao espaço em branco para o espaço em branco. Por exemplo, após a 1mudança, temos 2cenários possíveis (deixe 0um espaço em branco):

1   2   3   4          1   2   3   4
5   6   7   8          5   6   7   8
9   10  11  12   and   9   10  11  0
13  14  0   15         13  14  15  12

Após os 2movimentos, o quebra-cabeça tem 5resultados diferentes (observe que os dois casos acima são excluídos, pois não podem ser alcançados em 2 movimentos). Uma dessas situações é o estado resolvido original e pode ser alcançado de duas maneiras diferentes.

Sua tarefa neste desafio é produzir o número de resultados diferentes aos quais um certo número de movimentos pode levar. Como entrada, pegue um número N >= 0e produza o número de situações únicas que podem aparecer após os Nmovimentos.

Regras

• Isso é código-golfe. O código mais curto vence!
• As brechas padrão não são permitidas.
• Seu código deve poder calcular o caso N = 10em alguns minutos. Provavelmente não testarei essa regra, a menos que exista um abuso óbvio de tempo em uma resposta.

Casos de teste

(Resultados gerados a partir dos somatórios de OEIS A089484 (conforme Geobits descrito no bate-papo ), automatizados pelo script de Martin Büttner . Obrigado por toda a ajuda!)

0 moves: 1
1 moves: 2
2 moves: 5
3 moves: 12
4 moves: 29
5 moves: 66
6 moves: 136
7 moves: 278
8 moves: 582
9 moves: 1224
10 moves: 2530
11 moves: 5162
12 moves: 10338
13 moves: 20706
14 moves: 41159
15 moves: 81548
16 moves: 160159
17 moves: 313392
18 moves: 607501
19 moves: 1173136
20 moves: 2244884
21 moves: 4271406
22 moves: 8047295
23 moves: 15055186
24 moves: 27873613
25 moves: 51197332
26 moves: 93009236
27 moves: 167435388
28 moves: 297909255
29 moves: 524507316
30 moves: 911835416
31 moves: 1566529356

Pitão, 36 bytes

lu{smmXd,0@dk)fq1.a.DR4,Txd0UdGQ]U16

Demonstração . Equipamento de teste.

lu{smmXd,0@dk)fq1.a.DR4,Txd0UdGQ]U16

                 .a.DR4,Txd0            Find the Euclidean distance between the
                                        present location of 0 and a given location.
              fq1           Ud          Filter over all locations on that distance
                                        equaling 1.
     mXd,0@dk)                          Map each such location to the grid with 0
                                        and the value at that location swapped.
  {sm                         G         Map all unique grids possible after n-1
                                        steps to all unique grids after n steps.
 u                             Q]U16    Repeat <input> times, starting with the
                                        initial grid.
l                                       Print the length of the resulting set.

CJam, 54 52 51 50 49 47 45 bytes

G,ari{{:S0#S{4md2$4md@-@@-mh1=},f{Se\}}%:|}*,

Experimente online no intérprete CJam (deve levar menos de 10 segundos).

Como funciona

G,a       e# Push R := [[0 1 ... 15]].
ri{       e# Do int(input()) times:
  {:S     e#   For each S in R:
    0#    e#     Push the index of 0 in S (I).
    S{    e#     Filter S; for each J in in S:
      4md e#       Push J/4 and J%4.
      2$  e#       Copy I.
      4md e#       Push I/4 and I%4.
      @-  e#       Compute (I%4)-(J%4).
      @@- e#       Compute (J%4)-(I%4).
      mh  e#       2-norm distance: a b -> sqrt(aa + bb)
      1=  e#       Check if the distance is 1.
    },    e#     Keep all values of J with distance 1 from I.
    f{    e#     For each J:
      S   e#       Push S. 
      e\  e#       Swap S at indexes I and J.
    }     e#     This pushes an array of all valid modifications of S.
  }%      e#   Collect the results for all S in R in an array.
  :|      e#   Reduce the outmost array using set union (removes duplicates).
}*        e#

Retina , 289 276 bytes

^
,abcd%efgh%ijkl%mnox,
(`(,[^,]*)x([^,%])([^,y]*),
$0$1$2x$3y,
(,[^,]*)([^,%])x([^,y]*),
$0$1x$2$3y,
(,[^,]*)x([^,]{4})([^,])([^,y]*),
$0$1$3$2x$4y,
(,[^,]*)([^,])([^,]{4})x([^,y]*),
$0$1x$3$2$4y,
,.{19},(?=.*1)|,[^,]{20},(?=[^1]*$)|y|1$

+)`([^,]{19})(.*),\1,
$1$2
[^a]

a
1

Recebe entrada e imprime a saída em unário.

Você pode colocar cada linha em um único arquivo ou executar o código como está com o -ssinalizador. Por exemplo:

> echo -n 111|retina -s fifteen_puzzle
111111111111

O núcleo do método é que controlamos todas as posições possíveis (sem repetição) que podem ocorrer após exatamente as ketapas. Começamos a formar k = 0e repetimos as etapas de substituição (usando o (` and )` modifiers) até atingirmos o número de etapas de entrada.

Durante esse cálculo, nossa string sempre tem a forma de

(,[puzzle_state]y?,)+1*

onde puzzle_stateestá abcd%efgh%ijkl%mnoxcom alguma permutação das letras. xrepresenta o lugar vazio, o resto das letras são os azulejos. %são delimitadores de linha.

ymarca que o estado é gerado na etapa atual ( k), portanto, não deve ser usado para gerar outros estados nesta etapa.

1marca o número de etapas restantes.

O mecanismo básico do código Retina é que todas as correspondências de uma linha ímpar são alteradas para a próxima linha (par).

O código com explicação adicional:

initialize string
^
,abcd%efgh%ijkl%mnox,

while string changes
(`

for every old (y-less) state concatenate a new state with moving the empty tile to r/l/d/u if possible
right
(,[^,]*)x([^,%])([^,y]*),
$0$1$2x$3y,
left
(,[^,]*)([^,%])x([^,y]*),
$0$1x$2$3y,
down
(,[^,]*)x([^,]{4})([^,])([^,y]*),
$0$1$3$2x$4y,
up
(,[^,]*)([^,])([^,]{4})x([^,y]*),
$0$1x$3$2$4y,

if we should have made this step (there are 1's left) remove old states
,.{19},(?=.*1)

if we should not have made this step (no more 1's left) remove new states
,[^,]{20},(?=[^1]*$)

remove y markers
y

remove one 1 (decrease remaining step count)
1$


remove duplicates until string changes (with + modifier)
+`([^,]{19})(.*),\1,
$1$2    

end while
)`

remove non-a's, 1 a stays from each state
[^a]

change a's to 1's
a
1

10 bytes salvos graças a @MartinButtner.

Python, 310 253 243 229 bytes

Versão mais recente com melhoria sugerida por @randomra:

s=set()
s.add(tuple(range(16)))
def e(a,b):s.add(t[:a]+(t[b],)+t[a+1:b]+(t[a],)+t[b+1:])
for k in range(input()):
 p,s=s,set()
 for t in p:j=t.index(0);j%4and e(j-1,j);j%4>2or e(j,j+1);j<4or e(j-4,j);j>11or e(j,j+4)
print len(s)

Minha própria versão, que era mais longa (243 bytes), mas mais fácil de ler:

s=set()
s.add(tuple(range(16)))
def e(a,b):s.add(t[:a]+(t[b],)+t[a+1:b]+(t[a],)+t[b+1:])
for k in range(input()):
 p,s=s,set()
 for t in p:
  j=t.index(0)
  if j%4:e(j-1,j)
  if j%4<3:e(j,j+1)
  if j>3:e(j-4,j)
  if j<12:e(j,j+4)
print len(s)

Primeira pesquisa de largura simples, codificando os estados como tuplas e armazenando-os em um conjunto para mantê-los exclusivos.

Leva cerca de 0,03 segundos no meu laptop para N = 10. O tempo de execução aumenta substancialmente para números maiores, por exemplo, cerca de 12 segundos para N = 20.

Perl, 148

#!perl -p
$s{"abcd.efgh.ijkl.mno#"}=1;for(1..$_){$x=$_,map{$r{$_}=1if
s/($x)/$3$2$1/}keys%s for
qw!\w)(# #)(\w \w)(.{4})(# #)(.{4})(\w!;%s=%r;%r=()}$_=keys%s

Exemplo:

$ time perl 15.pl <<<20
2244884
real    0m39.660s
user    0m38.822s
sys 0m0.336s