Onde devo colocar meu restaurante?


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Você é o dono de um restaurante. Você está abrindo em uma nova área em Cartesia, onde há apenas uma estrada principal, conhecida como eixo y. Você deseja colocar seu restaurante de modo a minimizar a distância total do restaurante e de cada uma das casas nessa área.

Entrada :

A entrada será

n, the number of houses
house1
house2
house3
...
houseN

onde cada casa é uma coordenada no formulário x y. Cada unidade representa um quilômetro.

Você pode receber a entrada como uma string ou fornecer uma função que aceita a entrada, em qualquer formato que você escolher, como seus argumentos.

Saída : a coordenada y do seu restaurante (lembre-se, ele estará localizado no eixo y). Na verdade, ele estará localizado ao lado da estrada, mas a diferença é insignificante.

Essencialmente, se a enésima casa é h_ne Dé a função de distância, você deseja encontrar kuma que D(h_0, (0, k)) + D(h_1, (0, k)) + D(h_2, (0, k)) + ... + D(h_n, (0, k))seja minimizada.

Observe que a distância é calculada como se o cliente viajasse em uma linha exatamente reta da casa até o restaurante. Essa é a distância do (x, y)seu restaurante sqrt(x^2 + (y - k)^2).

A saída deve ser precisa com pelo menos 2 casas decimais.

A saída pode ser impressa como uma sequência ou pode ser retornada da função.

Exemplo de entrada / saída:

Input:
2
5.7 3.2
8.9 8.1
Output:
5.113013698630137

A distância total neste exemplo é de cerca de 15.4003quilômetros.

Este é o código golf - o código mais curto vence.

PS: Também estou interessado em uma solução matemática que não é apenas força bruta. Não ganhará o código de golfe, mas receberá alguns votos positivos. Aqui está como eu fiz o problema de exemplo:

Seja o ponto A localizado em A (5,7, 3,2) e B em B (8,9, 8,1). Deixe o ponto de solução em (0, k) ser C. Reflita A sobre o eixo y para fazer A 'em (-5,7, 3,2). A distância de A 'a C é igual à distância de A a C. Portanto, o problema pode ser reduzido ao ponto C de modo que A'C + CB seja minimizado. Obviamente, este seria o ponto C que está na linha A'B.

Não sei se isso generalizaria bem para 3 ou mais pontos.


Qual métrica é usada para a função de distância D? Euclidiano?
Reto Koradi

1
Embora exista apenas uma estrada principal, presumimos que um cliente viaja em linha reta da casa até o restaurante? Ou eles viajam diretamente diretamente para o eixo y? (Ou, em outras palavras, usamos euclidiana ou Manhattan distância para D?)
Trichoplax

1
(Isso pode ser trabalhado a partir do exemplo, mas seria bom tê-lo explicitamente.)
Trichoplax

@trichoplax Euclidean? Euclidiano significa sqrt(diffX^2 + diffY^2)? Depois euclidiano. Eu sei que ele não se encaixa perfeitamente no cenário, mas assuma que o cliente viaja de alguma forma em linha reta a partir de sua casa.
Soktinpk 28/05

5
É aceitável considerar a entrada como uma lista de números complexos que representam as posições das casas no plano complexo?
Lirtosiast 28/05

Respostas:


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C, 315 302 bytes

t,i;double o,w,h,x,y,k,a,b,c;double g(N,S)double N,S[][2];{for(t=0;t<N;t++)k+=S[t][1];k/=N;for(i=0;i<9;i++){o=w=h=0;for(t=0;t<N;t++)x=S[t][0],y=S[t][1],a=y-k,c=k*k-2*k*y+x*x+y*y,o+=-a/sqrt(x*x+a*a),w+=x*x/pow(c,1.5),h+=3*x*x*a/pow(c,2.5);a=h/2;b=w-h*k;c=o-w*k+a*k*k;k=(-b+sqrt(b*b-4*a*c))/h;}return k;}

Isso está longe de ser bonito e também não é curto. Imaginei que, como não vou ganhar o concurso de duração, posso tentar vencer o concurso de precisão (teórico)! O código é provavelmente uma ordem de magnitude ou duas mais rápida que a solução bruteforce e depende de um pouco de tolice matemática.

Definimos uma função g(N,S)que recebe como entrada o número de casas N, e uma matriz de casas S[][2].

Aqui está desvendado, com um caso de teste:

t,i;
double o,w,h,x,y,k,a,b,c;
double g(N,S)double N,S[][2];{
    /* Initially, let k hold the geometric mean of given y-values */
    for(t=0;t<N;t++)
        k+=S[t][1];
    k/=N;

    /* We approximate 9 times to ensure accuracy */
    for(i=0;i<9;i++){
        o=w=h=0;
        for(t=0;t<N;t++)
            /* Here, we are making running totals of partial derivatives */
            /* o is the first, w the second, and h the third*/
            x=S[t][0],
            y=S[t][1],
            a=y-k,
            c=k*k-2*k*y+x*x+y*y,
            o+=-a/sqrt(x*x+a*a),
            w+=x*x/pow(c,1.5),
            h+=3*x*x*a/pow(c,2.5);
        /* We now use these derivatives to find a (hopefully) closer k */
        a=h/2;
        b=w-h*k;
        c=o-w*k+a*k*k;
        k=(-b+sqrt(b*b-4*a*c))/h;
    }
    return k;
}
/* Our testing code */
int main(int argc, char** argv) {
    double test[2][2] = {
        {5.7, 3.2},
        {8.9, 8.1}
    };    
    printf("%.20lf\n", g(2, test));
    return 0;
}

Quais saídas:

5.11301369863013732697

Aviso: O conhecimento de alguns cálculos pode ser necessário para um entendimento completo!

Então, vamos falar sobre a matemática.

Sabemos a distância do nosso ponto desejado (0, k)e uma casai :

Definição de D_i

E assim a distância total Dden casas pode ser definida da seguinte maneira:

Definição de D

O que gostaríamos de fazer é minimizar essa função pegando uma derivada em relação a ke configurando-a igual a 0. Vamos tentar. Sabemos que os derivados de Dpodem ser descritos da seguinte forma:

Derivada de D

Mas a primeira derivada parcial de cada uma Dié muito ruim ...

Derivada 1 de Di

Infelizmente, mesmo assim n == 2, definir esses derivativos 0e resolver isso kse torna desastroso muito rapidamente. Precisamos de um método mais robusto, mesmo que exija alguma aproximação.

Digite polinômios de Taylor.

Se conhecermos o valor D(k0)e todos Dos derivativos de k0, podemos reescrever Dcomo uma série de Taylor:

Definição por Taylor Series

Agora, esta fórmula tem um monte de coisas e seus derivados podem ficar bem difíceis de manejar, mas agora temos uma aproximação polinomial de D !

Fazendo um pouco de cálculo, encontramos as próximas duas derivadas de D, avaliando as derivadas de Di, exatamente como antes:

Derivada 2 de Di

Derivada 3 de Di

Ao truncar e avaliar as derivadas, podemos agora aproximar-nos Dcomo um polinômio de terceiro grau da forma:

Forma aproximada de D

Onde A, B, C, D são simplesmente números reais.

Agora isso podemos minimizar. Quando pegamos uma derivada e a definimos como 0, terminaremos com uma equação da forma:

Aproximação de D '

Fazendo o cálculo e as substituições, criamos estas fórmulas para a, b, and c:

Valor de um

Valor de b

Valor de c

Agora, nosso problema nos dá 2 soluções dadas pela fórmula quadrática:

Valor de k

Toda a fórmula para k seria um fardo enorme para escrever, por isso fazemos em partes aqui e no código.

Como sabemos que quanto maior k sempre resultará na distância mínima da nossa aproximação D(eu tenho uma prova realmente maravilhosa disso, que a margem deste artigo é insuficiente para conter ...), nem precisamos considerar o menor as soluções.

Um problema final permanece. Para fins de precisão, é necessário começar com umk0 que seja pelo menos no estádio em que esperamos que a resposta esteja. Para esse propósito, meu código escolhe a média geométrica dos valores y de cada casa.

Como à prova de falhas, repetimos o problema inteiro novamente 9 vezes, substituindo k0pork a cada iteração, para garantir a precisão.

Eu não fiz as contas sobre quantas iterações e quantas derivadas são realmente necessárias, mas optei por errar por precaução até poder confirmar a precisão.

Se você passou por isso comigo, muito obrigado! Espero que você entenda e, se detectar algum erro (dos quais provavelmente há muitos, estou muito cansado), entre em contato!


2
Eu, por exemplo, adoraria ver a explicação da sua matemática.
DLosc 29/05

2
@DLosc Seu desejo é meu comando.
BrainSteel

4
Isso é realmente maravilhoso. Pensei em experimentar o Método de Newton, mas não pensei nas séries de Taylor.
DLosc

5
Eu gostaria de poder votar mais isso.
Alex A.

@AlexA. Eu gostaria que você também pudesse me aprovar; D Dentro de um dia, removerei a última referência do teorema de Fermat e a substituirei por uma prova. Assim que eu encontrar um.
BrainSteel 29/05

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TI-BASIC, 20

fMin(sum(abs(iX-Ans)),X,~E99,E99

Recebe entrada na tela inicial da calculadora da série TI-83 ou 84 neste formulário (você pode digitar um 2:primeiro, o que seria ignorado):

{5.7+3.2i,8.9+8.1i}:[program name]

Se as casas estiverem sempre a menos de um bilhão de quilômetros da origem, o E99 poderá ser substituído pelo E9 por um tamanho de 18 bytes.

Se houvesse uma linguagem de golfe baseada no Mathematica, ela poderia vencer esse desafio em 10 a 14 bytes.


10

Mathematica, 42 bytes

k/.Last@Minimize[Tr[Norm[#-{0,k}]&/@#],k]&

Esta é uma função anônima que pega uma lista de pares conforme a casa coordena e retorna a coordenada y desejada.

É uma implementação bastante direta. Mapeamos Norm[#-{0,k}]&para cada coordenada da casa (que calcula a distância até um ponto indeterminado {0,k}no eixo y) e somamos todas elas Tr[...](para traçar, o que equivale a Totallistas 1-d). Em seguida, usamos o conveniente Minimizepara encontrar o mínimo dessa soma em k. Isso fornece um resultado do formulário {distance, {k -> position}, portanto, precisamos k/.Last@extrair o positionque estamos procurando.


6

Pitão, 33 bytes

hosm.a,d,0NQcR^T3rhKSms*^T3ekQheK

Esta é a solução da força bruta: ela ordena todos os locais possíveis do restaurante, com uma resolução de 0,001 km, pela distância total das casas e, em seguida, seleciona aquele com a menor distância total. Leva os locais da casa como uma lista de 2 listas de carros alegóricos no STDIN.

Demonstração.

A resolução pode ser definida entre 1e-2 km e 1e-10 km no mesmo comprimento de código, mas com lentidão exponencial no tempo de execução.

Eu sinto que isso poderia ser jogado um pouco mais, vou olhar novamente mais tarde.


2
Ri muito! Você copiou minha solução? ;-)
Jakube

@Jakube A correspondência ^T3é especialmente impressionante.
Isaacg 28/05

Nós realmente precisamos de um intervalo de flutuação.
Maltysen

3

Python 2, 312

from math import*;A,L,p=[map(float,raw_input().split()) for i in range(input())],lambda a:a[1],0.001
def R(m,M,s):
 while m<=M:yield m;m+=s
m=min(A,key=L)[1];M=max(A,key=L)[1];r=(m+M)/2;s=r-m
while s>p:D={y:sum([sqrt(X*X+(Y-y)**2)for X,Y in A])for y in R(r-s,r+s,s*p)};r=min(D,key=D.get);s*=p;m=r-s;M=r+s
print r

3

R, 145 143 126

Muita sala de golfe sobrou nisto, suspeito. Praticamente um método de força bruta. Eu gostaria de encontrar uma maneira melhor de fazer isso. Eu acho que o Geometric Means pode ajudar, mas infelizmente não.

r=sapply(seq(min((p=matrix(scan(),nr=2))),max(p),.001),function(X,p)c(X,sum((p[1,]^2+(p[2,]-X)^2)^.5)),p);r[1,order(r[2,])[1]]

Execução de teste

> r=sapply(seq(min((p=matrix(scan(),nr=2))),max(p),.001),function(X,p)c(X,sum((p[1,]^2+(p[2,]-X)^2)^.5)),p);r[1,order(r[2,])[1]]
1: 5.7 3.2
3: 8.9 8.1
5: 
Read 4 items
[1] 5.113
> 

Por uma questão de interesse, se houver apenas duas casas a considerar, o seguinte retornará um resultado aceitável. No entanto, cai em três. Não posso ir mais longe no momento, mas pensei que alguns dos cérebros aqui pudessem fazer algo com isso.

p=matrix(scan(),nr=2);weighted.mean(p[2,],sum(p[1,])-p[1,])

2

MATLAB, 42

Se não for aceitável receber a entrada como

I=[5.7 3.2
    8.9 8.1]

então esta afirmação

fminunc(@(y)sum(hypot(I(:,1),I(:,2)-y)),0)

retorna 5.113014445748538 .

Roubando descaradamente o método de Thomas Kwa, você pode reduzi-lo a 30 pelo menos:

I=[5.7+3.2i 8.9+8.1i];
fminunc(@(y)sum(abs(I-i*y)),0)

1
Pode ser estendido para trabalhar com nnúmero de casa? Uma vez que é o que a pergunta está pedindo.
N̴̖̋h̷͉̃a̷̭̿h̸̡̅ẗ̵̨́d̷̰̀ĥ̷̳

Sim, funciona com qualquer número de linhas I.
David
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