Escreva um programa ou função que, dado positivo n e m, calcule o número de inclinações de dominó distintas válidas que você pode ajustar em um retângulo n por m . Essa é a sequência A099390 na Enciclopédia on - line de sequências inteiras . Você pode inserir dados como argumento (s) de função, CLA ou stdin, em qualquer formato razoável. Você deve retornar ou imprimir um único número inteiro como saída.

Cada lado a lado não deve deixar nenhum espaço, e todos os lado a lado são contados, incluindo rotações, reflexões, etc. Por exemplo, as inclinações para 2x3 são:

|--    |||    --| 
|--    |||    --|

Exemplos de entradas / saídas:

1,  9 -> 0
2,  2 -> 2
2,  3 -> 3
4,  4 -> 36
4,  6 -> 281
6,  6 -> 6728
7, 10 -> 53175517

Seu programa deve, teoricamente, trabalhar para qualquer n e m , mas se o seu programa requer muita memória ou o seu tipo de dados transborda ele está dispensado. Seu programa deve funcionar corretamente para qualquer n, m <= 8 no entanto.

O menor código em bytes vence.

Pitão, 30 29 bytes

L?bsmy-tb]dfq1.a-VThbb1y*FUMQ

Experimente on-line: Demonstration / Test Suite

Todas as entradas de exemplo são executadas no compilador online. O último leva alguns segundos.

Explicação:

No meu código, definirei uma função recursiva y. A função ypega uma lista de coordenadas 2D e retorna o número de diferentes inclinação do dominó usando essas coordenadas. Por exemplo y([[0,0], [0,1]]) = 1(um dominó horizontal), y([[0,0], [1,1]]) = 0(as coordenadas não são adjacentes) e y([[0,0], [0,1], [1,0], [1,1]]) = 2(dois dominós horizontais ou dois verticais). Depois de definir a função, chamarei com todas as coordenadas [x,y]com x in [0, 1, m-1], y in [0, 1, n-1].

Como funciona a função recursiva? É bem simples Se a lista de cordas estiver vazia, haverá exatamente um lado a lado e yretornos válidos 1.

Caso contrário, pego a primeira coordenada da lista b[0]e busco as demais coordenadas por vizinhos. Se não houver vizinho b[0], então não será possível colocar lado a lado, portanto, retornarei 0. Se houver um ou mais vizinhos, o número de inclinações será (o número de inclinações em que eu me conecto b[0]com o primeiro vizinho através de uma domina, mais o número de inclinações em que eu me conecto b[0]com o segundo vizinho, mais ...) Então chamo a função recursivamente para cada vizinho com a lista abreviada (removendo as duas cordas b[0]e o vizinho). Depois, resumi todos os resultados e os devolvo.

Por causa da ordem dos cabos, sempre existem apenas dois vizinhos possíveis, o do lado direito e o abaixo. Mas meu algoritmo não se importa com isso.

                          UMQ  convert the input numbers into ranges
                        *F     Cartesian product (coords of each square)
L                              define a function y(b):
 ?b                              if len(b) > 0:
           f         b             filter b for squares T, which satisfy:
              .a-VThb                Euclidean distance between T and b[0]
            q1                       is equal to 1 (direct neighbors)
    m                              map each neighbor d to:
      -tb]d                          remove d from b[1]
     y                               and call recursively y with the rest
   s                               sum all those values and return them
                                 else:
                      1            return 1 (valid domino tiling found)
                       y*FUMQ  Call y with all coords and print the result  

Matlab, 292

Estou certo de que isso pode ser muito reduzido, apenas portando-o para outro idioma.

A idéia básica é a brutalidade: criei uma espécie de enumeração de todas as maneiras de como colocar m*n/2tijolos de dominó em uma m*nplaca. Mas essa enumeração também inclui muitas inclinações inválidas (tijolos que se sobrepõem ou ficam fora do quadro). Portanto, o programa constrói todas essas inclinações e conta apenas as válidas. A complexidade do tempo de execução é sobre O(2^(m*n/2) * m*n). A memória não é um problema para o sistema 8x8, pois apenas precisa de O(m*n)memória. Mas o tempo necessário 8x8é de cerca de 20 dias.

Aqui a versão totalmente comentada que explica o que está acontecendo.

PS: Se alguém souber como fazer o destaque da sintaxe do Matlab funcionar, inclua a tag correspondente nesta resposta!

function C=f(m,n)
d = ceil(m*n/2);%number of dominoes
%enumeration: %the nth bit in the enumeration says whether the nth 
% domino pice is upright or not. we enumerate like this:
% firt piece goes top left:
% next piece goes to the left most column that has an empty spot, in the
% top most empty spot of that column
C=0;%counter of all valid tilings
for e=0:2^d-1 %go throu all enumerations
    %check whether each enumeration is valid
    A = ones(m,n);
    %empty spots are filled with 1
    %filled spots are 0 (or if overlapping <0) 
    v=1;%flag for the validity. hte grid is assumed to be valid until proven otherwise
    for i=1:d %go throu all pieces, place them in A
        %find the column where to place:
        c=find(sum(A)>0,1);
        %find the row where to place:
        r=find(A(:,c)>0,1);
        %find direction of piece:
        b=de2bi(e,d);
        if b(i)
            x=0;y=1;
        else
            x=1;y=0;
        end
        %fill in the piece:
        try
            A(r:r+y,c:c+x)=A(r:r+y,c:c+x)-1;
        catch z
            v=0;break;
        end
        %check whether A has no overlapping pieces
        if any(A(:)<0)
            v=0;break;
        end
    end
    %if valid, count it as valid
    if v && ~norm(A(:))
        disp(A)
        C=C+1;
    end
end

Aqui o totalmente golfe:

function C=f(m,n);m=4;n=6;d=ceil(m*n/2);C=0;for e=0:2^d-1;A=ones(m,n);v=1;for i=1:d;c=find(sum(A)>0,1);r=find(A(:,c)>0,1);b=de2bi(e,d);if b(i);x=0;y=1;else;x=1;y=0;end;try;A(r:r+y,c:c+x)=A(r:r+y,c:c+x)-1;catch z;v=0;break;end;if any(A(:)<0);v=0;break;end;end;if v && ~norm(A(:));C=C+1;end;end

C89, 230 bytes

f(n,m,b)int*b;{int s,i;s=i=0;
while(b[i])if(++i==n*m)return 1;
if(i/n<m-1){b[i]=b[i+n]=1;s+=f(n,m,b);b[i]=b[i+n]=0;}
if(i%n<n-1&&!(b[i]|b[i+1])){b[i]=b[i+1]=1;s+=f(n,m,b);b[i]=b[i+1]=0;}
return s;}
g(n,m){int b[99]={};return f(n,m,b);}

Para facilitar a leitura, envolvi manualmente esta resposta - todas as novas linhas podem ser removidas com segurança para obter 230 bytes.

Define uma função int g(int n, int m)que retorna o número de inclinações. Ele usa uma função auxiliar fque itera sobre todas as inclinações válidas, colocando um dominó, recorrendo e removendo o dominó em uma placa compartilhada.

Python 243

Optei por uma abordagem de força bruta:

• gerar m * n / 2 direções;
• tente encaixar o dominó na placa m * n.

Se todos eles se ajustarem e não houver espaço, teremos uma entrada válida.

Aqui está o código:

import itertools as t
m,n=input()
c,u=0,m*n
for a in t.product([0,1],repeat=u/2):
 l,k,r,h=[' ',]*u,0,'-|',[1,m]
 for t in a:
  l[k]=r[t]
  k+=h[t]   
  if k%m<m and k/m<n and l[k]==' ':l[k]=r[t]
  k=''.join(l).find(' ',1)
 if k<0:c+=1
print c