Há um número bastante grande de funções geradoras primárias. Praticamente todos eles são construídos e são baseados na peneira de Eratóstenes, na função de Möbius ou no teorema de Wilson e geralmente são inviáveis ​​de calcular na prática. Mas também existem geradores, que possuem uma estrutura muito fácil e foram encontrados por acidente.

Em 2003, Stephen Wolfram explorou uma classe de equações de recorrência aninhadas em um experimento com computador ao vivo na NKS Summer School. Um grupo de pessoas ao redor de Matthew Frank seguiu com experimentos adicionais e descobriu uma propriedade interessante da simples recorrência

a(n) = a(n-1) + gcd(n,a(n-1))

com o valor inicial de a(1) = 7. A diferença a(n) - a(n-1) = gcd(n,a(n-1))sempre parecia ser 1 ou primo. As primeiras diferenças são ( OEIS A132199 ):

1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 23, 3, 1, 1, 
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 47, 3, 1, 5, 3, ...

Se omitirmos apenas os 1s, obteremos a seguinte sequência ( OEIS A137613 ):

5, 3, 11, 3, 23, 3, 47, 3, 5, 3, 101, 3, 7, 11, 3, 13, 233, 3, 467, 3, 5, 3, 
941, 3, 7, 1889, 3, 3779, 3, 7559, 3, 13, 15131, 3, 53, 3, 7, 30323, 3, ...

Eric S. Rowland provou a primidez de cada elemento nesta lista alguns anos depois. Como você pode ver, os números primos são misturados e alguns deles aparecem várias vezes. Também foi comprovado que a sequência inclui infinitamente muitos primos distintos. Além disso, é conjecturado que todos os números primos ímpares apareçam.

Como esse gerador principal não foi construído, mas simplesmente encontrado por acidente, o gerador primário é chamado de "ocorrência natural". Mas observe que, na prática, esse gerador também é bastante inviável de calcular. Como se vê, um primo p aparece somente após (p–3)/21s consecutivos. Não obstante, implementar este gerador principal será sua tarefa.

Desafio:

Escreva uma função ou um programa que imprima os primeiros nelementos da sequência A137613(a sequência sem os 1s). Você pode ler o número de entrada n >= 0via STDIN, argumento de linha de comando, prompt ou argumento de função. Envie os primeiros nelementos em qualquer formato legível para STDOUT ou retorne uma matriz ou uma lista com esses valores.

Isso é código-golfe. Portanto, o código mais curto vence.

Entre os melhores:

Aqui está um snippet de pilha para gerar uma classificação regular e uma visão geral dos vencedores por idioma. Para garantir que sua resposta seja exibida, inicie-a com um título, usando o seguinte modelo de remarcação:

# Language Name, N bytes

onde N é o tamanho do seu envio. Se você melhorar sua pontuação, poderá manter as pontuações antigas no título, identificando-as. Por exemplo:

# Ruby, <s>104</s> <s>101</s> 96 bytes

var QUESTION_ID=55272;function answersUrl(e){return"http://api.stackexchange.com/2.2/questions/"+QUESTION_ID+"/answers?page="+e+"&pagesize=100&order=desc&sort=creation&site=codegolf&filter="+ANSWER_FILTER}function getAnswers(){jQuery.ajax({url:answersUrl(page++),method:"get",dataType:"jsonp",crossDomain:!0,success:function(e){answers.push.apply(answers,e.items),e.has_more?getAnswers():process()}})}function shouldHaveHeading(e){var a=!1,r=e.body_markdown.split("\n");try{a|=/^#/.test(e.body_markdown),a|=["-","="].indexOf(r[1][0])>-1,a&=LANGUAGE_REG.test(e.body_markdown)}catch(n){}return a}function shouldHaveScore(e){var a=!1;try{a|=SIZE_REG.test(e.body_markdown.split("\n")[0])}catch(r){}return a}function getAuthorName(e){return e.owner.display_name}function process(){answers=answers.filter(shouldHaveScore).filter(shouldHaveHeading),answers.sort(function(e,a){var r=+(e.body_markdown.split("\n")[0].match(SIZE_REG)||[1/0])[0],n=+(a.body_markdown.split("\n")[0].match(SIZE_REG)||[1/0])[0];return r-n});var e={},a=1,r=null,n=1;answers.forEach(function(s){var t=s.body_markdown.split("\n")[0],o=jQuery("#answer-template").html(),l=(t.match(NUMBER_REG)[0],(t.match(SIZE_REG)||[0])[0]),c=t.match(LANGUAGE_REG)[1],i=getAuthorName(s);l!=r&&(n=a),r=l,++a,o=o.replace("{{PLACE}}",n+".").replace("{{NAME}}",i).replace("{{LANGUAGE}}",c).replace("{{SIZE}}",l).replace("{{LINK}}",s.share_link),o=jQuery(o),jQuery("#answers").append(o),e[c]=e[c]||{lang:c,user:i,size:l,link:s.share_link}});var s=[];for(var t in e)e.hasOwnProperty(t)&&s.push(e[t]);s.sort(function(e,a){return e.lang>a.lang?1:e.lang<a.lang?-1:0});for(var o=0;o<s.length;++o){var l=jQuery("#language-template").html(),t=s[o];l=l.replace("{{LANGUAGE}}",t.lang).replace("{{NAME}}",t.user).replace("{{SIZE}}",t.size).replace("{{LINK}}",t.link),l=jQuery(l),jQuery("#languages").append(l)}}var ANSWER_FILTER="!t)IWYnsLAZle2tQ3KqrVveCRJfxcRLe",answers=[],page=1;getAnswers();var SIZE_REG=/\d+(?=[^\d&]*(?:&lt;(?:s&gt;[^&]*&lt;\/s&gt;|[^&]+&gt;)[^\d&]*)*$)/,NUMBER_REG=/\d+/,LANGUAGE_REG=/^#*\s*([^,]+)/;

body{text-align:left!important}#answer-list,#language-list{padding:10px;width:290px;float:left}table thead{font-weight:700}table td{padding:5px}

<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.1/jquery.min.js"></script><link rel="stylesheet" type="text/css" href="//cdn.sstatic.net/codegolf/all.css?v=83c949450c8b"><div id="answer-list"> <h2>Leaderboard</h2> <table class="answer-list"> <thead> <tr><td></td><td>Author</td><td>Language</td><td>Size</td></tr></thead> <tbody id="answers"> </tbody> </table></div><div id="language-list"> <h2>Winners by Language</h2> <table class="language-list"> <thead> <tr><td>Language</td><td>User</td><td>Score</td></tr></thead> <tbody id="languages"> </tbody> </table></div><table style="display: none"> <tbody id="answer-template"> <tr><td>{{PLACE}}</td><td>{{NAME}}</td><td>{{LANGUAGE}}</td><td>{{SIZE}}</td><td><a href="{{LINK}}">Link</a></td></tr></tbody></table><table style="display: none"> <tbody id="language-template"> <tr><td>{{LANGUAGE}}</td><td>{{NAME}}</td><td>{{SIZE}}</td><td><a href="{{LINK}}">Link</a></td></tr></tbody></table>

Pitão, 14 13 bytes

meaYhP+sY-5dQ

Usa a(n) = Lpf(6 - n + sum(a(i) for i in range(1, n))onde Lpfsignifica menos fator primo.

Experimente aqui online.

Python 3.5.0b1 +, 95 93 bytes

Link para o Python 3.5.0b1 + release

import math
def f(k,n=2,a=7,L=[]):x=math.gcd(n,a);return k and f(k-1%x,n+1,a+x,L+1%x*[x])or L

Uma implementação direta da recorrência, apresentando:

• Nosso bom amigo 1%x, e
• math.gcd, ao contrário de fractions.gcd.

Julia, 110 bytes

n->(a(n)=(n≥1&&(n==1?7:a(n-1)+gcd(n,a(n-1))));i=2;j=0;while j<n x=a(i)-a(i-1);x>1&&(j+=1;println(x));i+=1end)

Ungolfed:

function a(n::Int)
    n ≥ 1 && (n == 1 ? 7 : a(n-1) + gcd(n, a(n-1)))
end

function f(n::Int)
    i = 2;
    j = 0;
    while j < n
        x = a(i) - a(i-1)
        if x > 1
            j += 1
            println(x)
        end
        i += 1
    end
end

PHP, 101 96 99 98 77 72 bytes

<?for(;2>$t=gmp_strval(gmp_gcd(~++$i,7+$e+=$t))or$argv[1]-=print"$t ";);

Uso:
Chame o Script com um argumento: php -d error_reporting=0 script.php 30
Se você quiser testá-lo, precisará descomentar ;extension=php_gmp.dllno seu php.ini
-> extension=php_gmp.dll
Devo adicionar a extensão à minha contagem de bytes? Alguma ideia?

Log:
salvou 3 bytes graças a Ismael Miguel.
Economizou 26 bytes graças ao primo.

Haskell, 51 bytes

d=zipWith gcd[2..]$scanl(+)7d
f=($filter(>1)d).take

Observe que fé uma função que retornará os primeiros n elementos.

Em vez de a(n)calcular as diferenças d(n)e depois calcular as diferenças, calculamos as diferenças e as somamos para obter a(n). (Aqueles que não estão familiarizados com Haskell podem protestar que precisamos a(n)primeiro d(n), mas é claro que uma avaliação preguiçosa nos ajuda a solucionar esse problema!)

Ungolfed:

a = scanl (+) 7 d        -- yielding a(n) = 7 + d(1) + d(2) + ... + d(n-1)
d = zipWith gcd [2..] a  -- yielding d(n) = gcd(n+1, a(n))

f n = take n $ filter (> 1) d -- get rid of 1s and take the first n

Pitão, 30 bytes

Muito mal jogado, pode ser consideravelmente reduzido. Define a função recursiva na frente, filtra .first-n e mapeia a diferença.

L?tb+KytbibK7m-yhdyd.ft-yhZyZQ

Experimente aqui online .

Julia, 69 67 bytes

n->(i=1;a=7;while n>0 x=gcd(i+=1,a);a+=x;x>1&&(n-=1;println(x))end)

Esta é uma solução iterativa simples para o problema. xé a diferença (que é a gcd) e, em seguida, atualizo aadicionando x.

JavaScript (ES6), 91

GCD recursivo, função principal iterativa. Não tão rápido.

Nota habitual: teste de execução do snippet em qualquer navegador compatível com EcmaScript 6 (principalmente o Chrome, não o MSIE. Eu testei no Firefox, o Safari 9 pode ir)

F=m=>{
  for(G=(a,b)=>b?G(b,a%b):a,o=[],p=7,n=1;m;d>1&&(o.push(d),--m))
    p+=d=G(++n,p);
  return o
}

O.innerHTML=F(+I.value)

<input id=I value=10><button onclick='O.innerHTML=F(+I.value)'>-></button>
<pre id=O></pre>

Haskell, 74 71 66 bytes

f=($filter(>1)$tail>>=zipWith(-)$scanl(\x->(x+).gcd x)7[2..]).take

Usou o truque aqui: https://codegolf.stackexchange.com/a/39730/43318 e deixou de fazer sentido.

(Anterior: 71 bytes)

a=scanl(\x->(x+).gcd x)7[2..]
f m=take m$filter(>1)$zipWith(-)(tail a)a

Primeiro faça a sequência de a e depois faça as diferenças.

(Anterior: 74 bytes)

f m=take m$filter(>1)$map snd$scanl(\(x,d)->(\y->(x+y,y)).gcd x)(7,1)[2..]

Funções de lista padrão, além de uso inteligente da função lambda. Observe que este é 1 byte menor que o mais óbvio

g m=take m$filter(>1)$map snd$scanl(\(x,d)n->(x+gcd x n,gcd x n))(7,1)[2..]

Se não contarmos as importações, posso reduzir para 66.

import Data.List
h m=take m$filter(>1)$snd$mapAccumL(\x->(\y->(x+y,y)).gcd x)7[2..]

PARI / GP, 60 bytes

a(n)=a=7;i=1;while(n,if(1<d=gcd(i+=1,a),n-=1;print(d));a+=d)

Retirado mais ou menos direto da definição a (n) - a (n-1) = gcd (n, a (n-1))

Saída para a(20):

5
3
11
3
23
3
47
3
5
3
101
3
7
11
3
13
233
3
467
3

C ++, 193 182 180 172 bytes

Obrigado @Jakube - salvou 8 bytes na saída.

int g(int a,int b){return a==b?a:a>b?g(b,a-b):g(a,b-a);}void f(int *r,int n){int m=1,i=0,a=7,b;while(i<n){b=g(a,++m);if(b>1){r[i]=b;++i;}a+=b;}}int main(){int r[6];f(r,6);}

Mathematica, 59 bytes

For[i=j=1;a=7,i<=#,,d=GCD[++j,a];If[d>1,Print@d;i++];a+=d]&