Python 2
Tabela até n = 64
, verificada ideal com força bruta até n = 32
:
4 4 0001
8 4 00010001
12 6 000001010011
16 8 0000010011101011
20 10 00010001011110011010
24 12 000101001000111110110111
28 14 0001011000010011101011111011
32 14 00001101000111011101101011110010
36 18 001000101001000111110011010110111000
40 20 0010101110001101101111110100011100100100
44 18 00010000011100100011110110110101011101101111
48 24 001011011001010111111001110000100110101000000110
52 26 0011010111000100111011011111001010001110100001001000
56 28 00100111111101010110001100001101100000001010100111001011
60 30 000001101101100011100101011101111110010010111100011010100010
64 32 0001100011110101111111010010011011100111000010101000001011011001
onde 0
representa -1
. Se n
não é divisível por 4, então m = 1
é ideal. Gerado usando esse código (ou pequenas variações dele), mas com mais tentativas para maiores n
:
from random import *
seed(10)
trials=10000
def calcm(x,n):
m=1
y=x
while 1:
y=((y&1)<<(n-1))|(y>>1)
if bin(x^y).count('1')!=n/2:
return m
m+=1
def hillclimb(x,n,ns):
bestm=calcm(x,n)
while 1:
cands=[]
for pos in ns:
xx=x^(1<<pos)
m=calcm(xx,n)
if m>bestm:
bestm=m
cands=[xx]
elif cands and m==bestm:
cands+=[xx]
if not cands:
break
x=choice(cands)
return x,bestm
def approx(n):
if n<10: return brute(n)
bestm=1
bestx=0
for trial in xrange(1,trials+1):
if not trial&16383:
print bestm,bin((1<<n)|bestx)[3:]
if not trial&1:
x=randint(0,(1<<(n/2-2))-1)
x=(x<<(n/2)) | (((1<<(n/2))-1)^x)
ns=range(n/2-2)
if not trial&7:
adj=randint(1,5)
x^=((1<<adj)-1)<<randint(0,n/2-adj)
else:
x=randint(0,(1<<(n-2))-1)
ns=range(n-2)
x,m=hillclimb(x,n,ns)
if m>bestm:
bestm=m
bestx=x
return bestm,bestx
def brute(n):
bestm=1
bestx=0
for x in xrange(1<<(n-2)):
m=calcm(x,n)
if m>bestm:
bestm=m
bestx=x
return bestm,bestx
for n in xrange(4,101,4):
m,x=approx(n)
print n,m,bin((1<<n)|x)[3:]
A abordagem é uma pesquisa aleatória simples com subidas, aproveitando um padrão observado por pequenos n
. O padrão é que, para otimizar m
, a segunda metade da primeira linha geralmente tem uma pequena distância de edição da negação (em bits) da primeira metade. Os resultados para o código acima são bons para pequenos, n
mas começam a se deteriorar não muito tempo depois que a força bruta se torna inviável; Eu ficaria feliz em ver uma abordagem melhor.
Algumas observações:
- Quando
n
é ímpar, m = 1
é ideal porque um número ímpar de unidades e unidades negativas não podem somar zero. (Ortogonal significa que o produto escalar é zero.)
- Quando
n = 4k + 2
, m = 1
é ideal porque, para m >= 2
isso, precisamos ter exatamente n/2
inversões de sinal entre {(a1,a2), (a2,a3), ... (a{n-1},an), (an,a1)}
, e um número ímpar de inversões de sinal implicaria a1 = -a1
.
- O produto escalar de duas linhas
i
e j
em uma matriz circulante é determinado por abs(i-j)
. Por exemplo, se row1 . row2 = 0
então row4 . row5 = 0
. Isso ocorre porque os pares de elementos para o produto escalar são iguais, apenas rotacionados.
- Conseqüentemente, para verificar a ortogonalidade mútua, precisamos apenas verificar linhas sucessivas na primeira linha.
- Se representarmos uma linha como uma string binária com
0
no lugar de -1
, podemos verificar a ortogonalidade de duas linhas usando xor bit a bit e comparando o popcount com n/2
.
- Podemos fixar os dois primeiros elementos da primeira linha arbitrariamente, porque (1) Negar uma matriz não afeta se os produtos pontuais são iguais a zero e (2) Sabemos que deve haver pelo menos dois elementos adjacentes com o mesmo sinal e dois elementos adjacentes com sinal diferente, para que possamos rotacionar para colocar o par desejado no início.
- Uma solução
(n0, m0)
fornecerá automaticamente soluções (k * n0, m0)
arbitrárias k > 1
, concatenando (repetidamente) a primeira linha para si mesma. Uma conseqüência é que podemos obter facilmente m = 4
qualquer n
divisível por 4.
É natural conjeturar que n/2
é um limite superior apertado para m
quando n > 4
, mas não sei como isso seria provado.