Dê uma olhada nesta imagem. Especificamente, como os orifícios nas extremidades são organizados.

^{( Fonte da imagem )}

Observe como os tubos nesta imagem são compactados em um padrão hexagonal. Sabe-se que em 2D, uma rede hexagonal é o empacotamento mais denso de círculos. Neste desafio, estaremos focados em minimizar o perímetro de uma embalagem de círculos. Uma maneira útil de visualizar o perímetro é imaginar colocar um elástico ao redor da coleção de círculos.

A tarefa

Dado um número inteiro positivo ncomo entrada, mostre uma coleção de ncírculos compactados o mais firmemente possível.

Regras e esclarecimentos

• Suponha que os círculos tenham um diâmetro de 1 unidade.
• A variável a ser minimizada é o comprimento do perímetro, definido como o casco convexo dos centros dos círculos no grupo. Veja esta imagem:

Os três círculos em uma linha reta têm um perímetro de 4 (o casco convexo é um retângulo 2x0 e o 2 é contado duas vezes), aqueles dispostos em um ângulo de 120 graus têm um perímetro de cerca de 3,85 e o triângulo tem um perímetro de apenas 3 unidades. Observe que estou ignorando as unidades pi adicionais que o perímetro real seria porque estou apenas olhando para os centros dos círculos, não para as bordas.

• Pode (e quase certamente haverá) várias soluções para qualquer dado n. Você pode emitir qualquer uma dessas opções a seu critério. Orientação não importa.
• Os círculos devem estar em uma estrutura hexagonal.
• Os círculos devem ter pelo menos 10 pixels de diâmetro e podem ser preenchidos ou não.
• Você pode escrever um programa ou uma função.
• A entrada pode ser obtida através do STDIN, como argumento de função ou equivalente mais próximo.
• A saída pode ser exibida ou em um arquivo.

Exemplos

Abaixo, tenho exemplos de saídas válidas e inválidas para n de 1 a 10 (exemplos válidos apenas para os cinco primeiros). Os exemplos válidos estão à esquerda; todo exemplo à direita tem um perímetro maior que o exemplo válido correspondente.

Muito obrigado a steveverrill pela ajuda na elaboração deste desafio. Embalagem feliz!

Mathematica 295 950 bytes

Nota: Esta versão ainda por jogar aborda questões levantadas por Steve Merrill em relação às minhas tentativas anteriores.

Embora seja uma melhoria em relação à primeira versão, ela não encontrará a configuração de alça mais densa, na qual se procuraria uma forma geral circular, e não hexagonal.

Ele encontra soluções construindo um hexágono interno completo (para n> = 6 e, em seguida, examina todas as configurações para concluir o shell externo com os círculos restantes.

Curiosamente, como Steve Merrill observou nos comentários, a solução para n+1círculos nem sempre consiste na solução para n círculos com outro círculo adicionado. Compare a solução fornecida para 30 círculos com a solução fornecida para 31 círculos. (Nota: existe uma solução exclusiva para 30 círculos.)

m[pts_]:={Show[ConvexHullMesh[pts],Graphics[{Point/@pts,Circle[#,1/2]&/@ pts}], 
ImageSize->Tiny,PlotLabel->qRow[{Length[pts],"  circles"}]],
RegionMeasure[RegionBoundary[ConvexHullMesh[pts]]]};
nPoints = ((#+1)^3-#^3)&;pointsAtLevelJ[0] = {{0,0}};
pointsAtLevelJ[j_]:=RotateLeft@DeleteDuplicates@Flatten[Subdivide[#1, #2, j] &@@@
Partition[Append[(w=Table[j{Cos[k Pi/3],Sin[k Pi/3]},{k,0,5}]), 
w[[1]]], 2, 1], 1];nPointsAtLevelJ[j_] := Length[pointsAtLevelJ[j]]
getNPoints[n_] := Module[{level = 0, pts = {}},While[nPoints[level]<=n, 
pts=Join[pointsAtLevelJ[level],pts];level++];Join[Take[pointsAtLevelJ[level],n-Length[pts]],
pts]];ns={1,7,19,37,61,91};getLevel[n_]:=Position[Union@Append[ns,n],n][[1, 1]]-1;
getBaseN[n_] := ns[[getLevel[n]]];pack[1]=Graphics[{Point[{0,0}], Circle[{0, 0}, 1/2]}, 
ImageSize->Tiny];pack[n_]:=Quiet@Module[{base = getNPoints[getBaseN[n]], 
outerRing = pointsAtLevelJ[getLevel[n]], ss},ss=Subsets[outerRing,{n-getBaseN[n]}];
SortBy[m[Join[base,#]]&/@ss,Last][[1]]]

Algumas das verificações envolveram comparações de mais de cem mil casos para um valor único de n (incluindo simetrias). Demorou aproximadamente 5 minutos para executar o total de 34 casos de teste. Escusado será dizer que, com maior n'sessa abordagem de força bruta logo se mostraria impraticável. Certamente, existem abordagens mais eficientes.

Os números à direita de cada embalagem são os perímetros dos respectivos cascos azuis convexos. Abaixo está a saída para 3 < n < 35. Os círculos vermelhos são aqueles adicionados em torno de um hexágono regular.