Antes de tudo ... eu gostaria de desejar a todos um Feliz Natal (desculpe se estou um dia atrasado para o seu fuso horário).

Para comemorar a ocasião, vamos desenhar um floco de neve. Como o ano é 201 5 e o Natal é o dia 5 5 (para grande parte das pessoas), desenharemos um floco Penta . O Pentaflake é um fractal simples composto por pentágonos. Aqui estão alguns exemplos (extraídos daqui) :

Cada Pentaflake tem um pedido n. O Pentaflake da ordem 0 é simplesmente um pentágono. Para todos os outros pedidos n, um Pentaflake é composto por 5 Pentaflakes da ordem anterior organizados em torno de um sexto Pentaflake da ordem anterior. Por exemplo, um Pentaflake da ordem 1 é composto por 5 pentágonos dispostos em torno de um pentágono central.

Entrada

A ordem n. Isso pode ser dado de qualquer maneira, exceto a de uma variável predefinida.

Saída

Uma imagem do pedido nPentaflake. Deve ter pelo menos 100 px de largura e 100 px de comprimento. Pode ser salvo em um arquivo, exibido para o usuário ou enviado para STDOUT. Qualquer outra forma de saída não é permitida. Todos os formatos de imagem existentes antes desse desafio são permitidos.

Ganhando

Como codegolf, a pessoa com o menor número de bytes vence.

Matlab, 226

function P(M);function c(L,X,Y,O);hold on;F=.5+5^.5/2;a=2*pi*(1:5)/5;b=a(1)/2;C=F^(2*L);x=cos(a+O*b)/C;y=sin(a+O*b)/C;if L<M;c(L+1,X,Y,~O);for k=1:5;c(L+1,X+x(k),Y+y(k),O);end;else;fill(X+x*F, Y+y*F,'k');end;end;c(0,0,0,0);end

Ungolfed:

function P(M);                
function c(L,X,Y,O);          %recursive function
hold on;
F=.5+5^.5/2;                  %golden ratio
a=2*pi*(1:5)/5;               %full circle divided in 5 parts (angles)
b=a(1)/2;
C=F^(2*L);
x=cos(a+O*b)/C;               %calculate the relative position ofnext iteration
y=sin(a+O*b)/C;
if L<M;                       %current recursion (L) < Maximum (M)? recurse
    c(L+1,X,Y,~O);            %call recursion for inner pentagon
    for k=1:5;
        c(L+1,X+x(k),Y+y(k),O)%call recursion for the outer pentagons
    end; 
else;                         %draw
    fill(X+x*F, Y+y*F,'k');  
end;
end;
c(0,0,0,0);
end

Quinta iteração (já demorou um pouco para renderizar).

Uma ligeira alteração no código (infelizmente mais bytes) resulta nessa beleza =)

Ah, e outro:

Mathematica, 200 bytes

a=RotationTransform
b=Range
r@k_:={Re[t=I^(4k/5)],Im@t}
R@k_:=a[Pi,(r@k+r[k+1])/2]
Graphics@Nest[GeometricTransformation[#,ScalingTransform[{1,1}(Sqrt@5-3)/2]@*#&/@Append[R/@b@5,a@0]]&,Polygon[r/@b@5],#]&

A última linha é uma função que pode ser aplicada a um número inteiro n.

Os nomes das funções do Mathematica são longos. Alguém deve codificá-los por entropia e criar um novo idioma a partir dele. :)

Quando aplicado a 1:

Quando aplicado a 2:

MATLAB, 235 233 217 bytes

Atualização: várias sugestões do @flawr me ajudaram a perder 16 bytes. Como somente isso me permitiu vencer a solução da flawr e que eu não teria encontrado o desafio sem a ajuda da flawr, considere isso uma submissão conjunta por nós :)

N=input('');f=2*pi/5;c=1.5+5^.5/2;g=0:f:6;p=[cos(g);sin(g)];R=[p(:,2),[-p(2,2);p(1,2)]];for n=1:N,t=p;q=[];for l=0:4,q=[q R^l*[c-1+t(1,:);t(2,:)]/c];end,p=[q -t/c];end,p=reshape(p',5,[],2);fill(p(:,:,1),p(:,:,2),'k');

Essa é outra solução MATLAB, baseada em uma filosofia de sistemas de funções iteradas. Eu estava interessado principalmente no desenvolvimento do algoritmo em si e não joguei muito na solução. Certamente há espaço para melhorias. (Eu pensei em usar uma aproximação de ponto fixo codificada para c, mas isso não seria legal.)

Versão não destruída:

N=input('');                                % read order from stdin

f=2*pi/5;                                   % angle of 5-fold rotation
c=1.5+5^.5/2;                               % scaling factor for contraction

g=0:f:6;
p=[cos(g);sin(g)];                          % starting pentagon, outer radius 1
R=[p(:,2),[-p(2,2);p(1,2)]];                % 2d rotation matrix with angle f

for n=1:N,                                  % iterate the points
    t=p;
    q=[];
    for l=0:4,
       q=[q R^l*[c-1+t(1,:);t(2,:)]/c];     % add contracted-rotated points
    end,
    p=[q -t/c];                             % add contracted middle block
end,

p=reshape(p',5,[],2);                 % reshape to 5x[]x2 matrix to separate pentagons
fill(p(:,:,1),p(:,:,2),'k');          % plot pentagons

Resultado para N=5(com um subsequente axis equal offpara beleza, mas espero que não conte em bytes):

Mathematica, 124 bytes

O Mathematica suporta nova sintaxe Tabledesde a versão 10 Table[expr, n]:, que salva outro byte. Table[expr, n]é equivalente a Table[expr, {n}].

f@n_:=(p=E^Array[π.4I#&,5];Graphics@Map[Polygon,ReIm@Fold[{g,s}~Function~Join[.62(.62g#+#&/@s),{-.39g}],p,p~Table~n],{-3}])

O núcleo desta função é usar números complexos para fazer transformações e depois convertê-los em pontos por ReIm.

Caso de teste:

f[4]

Mathematica, 199 196 bytes

Afiando a resposta de Peter Richter com um fio de cabelo, aqui está uma das minhas. Ele se apóia fortemente na funcionalidade gráfica e menos em matemática e FP. O CirclePoints embutido é novo no 10.1 .

c=CirclePoints;g=GeometricTransformation;
p@0=Polygon@c[{1,0},5];
p@n_:=GraphicsGroup@{
        p[n-1],
        g[
          p[n-1]~g~RotationTransform[Pi/5],
          TranslationTransform/@{GoldenRatio^(2n-1),n*Pi/5}~c~5
        ]
      };
f=Graphics@*p

Edit: Graças a DumpsterDoofus para GoldenRatio

Mathematica, 130 bytes

r=Exp[Pi.4I Range@5]
p=1/GoldenRatio
f@0={r}
f@n_:=Join@@Outer[1##&,r,p(f[n-1]p+1),1]~Join~{-f[n-1]p^2}
Graphics@*Polygon@*ReIm@*f

Uso uma técnica semelhante à resposta de njpipeorgan (de fato, roubei o 2Pi I/5 == Pi.4Itruque dele ), mas implementada como uma função recursiva.

Exemplo de uso (usando %para acessar a função anônima que foi impressa na última linha):

 %[5]