Eu tenho um número específico em mente, mas é parte de um desafio que estou fazendo e não quero que as pessoas façam (todo) o trabalho para mim.

Aqui está um número que tem os mesmos dígitos, mas embaralhados:

5713167915926167134578399473447223554460066674314639815391281352328315313091488448321843
8892917486601064146636679920143691047671721184150386045081532202458651561779976236919751
5521854951599379666116678853267398393892536121049731949764192014193648608210652358947001
6332620900065461061195026191178967128001712341637591690941978871368243245270800684616029
6679555942849366434586090627998161441134473428845367022486230724219981658438108844675033
4461550796750244527407413996606134735852639191026103378962082622204359677030054592798927
4145951979523473408718011778751084514127053772614511042703365596651912104541233491744530
87457854312602843967491787086250478422477028164189

O número tem 666 dígitos (decimal). Porque eu estou usando Python, números inteiros (ou tecnicamente longos) são automaticamente bignums.

Eu tenho 255 caracteres para usar e preciso descrever o mesmo número. A descrição deve ser executada através de eval () para produzir o número original.

Em quais estratégias devo procurar?

Codificação base

Uma técnica padrão para compactar números é expressá-los em uma grande base e codificar os dígitos como caracteres. Por exemplo, se você codificar o número na base 256, ele teria apenas 277 dígitos:

[12 24 156 48 101 149 235 32 96 92 20 203 202 164 144 71 193 127 112 77 141 79 210 183 98 155 16 151 65 198 26 236 83 221 220 129 169 254 43 124 245 25 176 182 167 124 95 191 77 25 233 139 190 7 135 2 149 90 163 163 106 193 220 253 109 129 57 219 91 157 218 18 223 11 171 113 209 173 207 123 110 220 79 139 176 143 171 7 30 35 231 151 172 83 120 114 119 47 217 227 50 105 236 91 161 226 112 16 170 57 162 147 36 89 26 9 122 164 15 15 243 108 30 14 233 139 103 137 82 169 2 57 54 71 154 136 23 203 137 10 219 153 24 168 42 218 165 125 185 183 241 91 193 85 195 71 186 18 98 34 196 78 6 193 252 8 177 94 5 24 137 183 127 129 9 77 149 73 148 193 62 220 146 33 130 21 209 153 229 105 100 188 87 235 203 104 207 161 20 17 102 150 252 120 242 222 233 248 114 217 142 31 196 42 161 173 0 244 9 213 178 152 122 170 136 230 135 132 245 69 9 196 231 147 8 175 48 98 101 23 162 144 190 200 62 226 61 27 200 15 232 12 105 187 184 4 121 252 171 240 230 94 161 151 131 209 205 130 193 9 4 155 92 48 59 130 93]

Ou expresso como uma sequência

"0eë `\ËʤGÁpMOÒ·bAÆìSÝÜ©þ+|õ°¶§|_¿Mé¾Z££jÁÜým9Û[Úß«qÑ­Ï{nÜO°«#ç¬Sxrw/Ùã2iì[¡âpª9¢$Y  z¤ólégR©96GË
Û¨*Ú¥}¹·ñ[ÁUÃGºb\"ÄNÁü±^· MIÁ>Ü!Ñåid¼WëËhÏ¡füxòÞéørÙÄ*¡­ô  Õ²zªæõE Äç¯0be¢¾È>â=Èèi»¸yü«ðæ^¡ÑÍÁ  \0;]"

(Além disso, alguns caracteres não imprimíveis que são retirados pelo SE.)

Claro, isso ainda é muito longo para o seu subsídio de 255 caracteres. Se você está realmente falando sobre caracteres (em vez de bytes), poderá entrar no Unicode e usar uma base muito maior. Que tal 2 ¹⁶ ? São apenas 139 dígitos:

[12 6300 12389 38379 8288 23572 52170 42128 18369 32624 19853 20434 46946 39696 38721 50714 60499 56796 33193 65067 31989 6576 46759 31839 48973 6633 35774 1927 661 23203 41834 49628 64877 33081 56155 40410 4831 2987 29137 44495 31598 56399 35760 36779 1822 9191 38828 21368 29303 12249 58162 27116 23457 57968 4266 14754 37668 22810 2426 41999 4083 27678 3817 35687 35154 43266 14646 18330 34839 52105 2779 39192 43050 55973 32185 47089 23489 21955 18362 4706 8900 19974 49660 2225 24069 6281 46975 33033 19861 18836 49470 56466 8578 5585 39397 26980 48215 60363 26831 41236 4454 38652 30962 57065 63602 55694 8132 10913 44288 62473 54706 39034 43656 59015 34037 17673 50407 37640 44848 25189 6050 37054 51262 57917 7112 4072 3177 48056 1145 64683 61670 24225 38787 53709 33473 2308 39772 12347 33373]

(Não posso incluir a string real aqui, porque ela contém alguns caracteres CJK que são banidos pelo SE.)

Agora isso parece mais factível. Você só precisa decodificá-lo em 116 caracteres. Se não puder, o Unicode possui muito mais do que 2 ¹⁶ caracteres, para que você possa tentar usar uma base ainda maior.

Fatoração Prime

Se o número não possui recursos interessantes, a codificação base é a melhor maneira de fazê-lo. A próxima coisa a fazer é procurar por recursos interessantes do número. O primeiro que vem à mente é que ele pode ter fatores de primos pequenos (2,3,5,7, etc.) elevados a potências bastante grandes. Se você não tiver mais nada para continuar, continue tentando dividir por números primos pequenos e veja o que acontece. Se seus fatores incluem 2**4, 3**4e 7**4, você pode escrever big number *42**4que está a poucos bytes menor do quebig number * 3111696

Remoção recursiva do maior quadrado

Essa abordagem remove o maior número quadrado de N, repetidamente, até que não haja valor em continuar.

while(n>999*999):
    s = sqrt(n,2)
    print s,"** 2 +"
    n = n - s**2
print n

Se você ignorar os caracteres "** 2 +", este será aproximadamente o mesmo número de dígitos que o número original, em média. A compensação desses 4 caracteres extras por iteração requer um pouco de sorte. No caso do seu número, o resultado possui 670 dígitos de números quadrados, mais 7x "** 2+", outra falha:

755855006990505232214298076833020140623897728341856142793250050184099570268569900389346192358073922001480310798643405893673501405667458785677166605919485512157948819102093414848159820683798554799982163455753292781944741934237780592730586508786425528910736750640071037094033497266578109597923654387813828207885510302579581252831537751**2+
33300095205899066129442737321270515378501483166974896029394675779096351509514355500527819871697116193238261137790928953798777695127752032484956608505929119246433389165**2+
187763197402063683206154659623192450644818397963460986292088297442441704645626089130**2+
278760215056365252005927060531480627653626**2+
639191600506542558482**2+
25777519523**2+
106673**2+
103405

Ao quase empatar, em média, esse algoritmo se presta bem ao uso em conjunto com outros algoritmos (ou até a si próprio) para reduzir ainda mais os números na expressão (ao custo de alguns parênteses). Esses outros algoritmos podem ser mais caros, pois estarão operando em números significativamente menores que o original. No exemplo dado, um ganho líquido poderia ser obtido se um algoritmo mais caro e eficaz pudesse cortar 25% dos caracteres de 33300095205899066129442737321270515378501483166974896029394675779096351509514355500527819871697116193238261137790928953798777695127752032484956608505929119246433389165(o segundo grande valor no resultado)

Grandes potências próximas

Essa abordagem procura por números [relativamente] pequenos aumentados para um poder que se aproxima do número alvo. Na maioria dos casos, redefinir N como A ** B + C não será uma melhoria, mas em alguns casos será.

def nearest_power(n):
    mindiff = 1
    best = (n,1)
    for a in xrange(2,10000):
        b = math.log(n,a)
        if math.ceil(b)-b<mindiff:
            mindiff = math.ceil(b)-b
            print a,"**",b
            best = (a,b)
        if b-math.floor(b)<mindiff:
            mindiff = b-math.floor(b)
            print a,"**",b
            best = (a,b)
    return best

10000é uma constante arbitrária. A condição de resgate também pode ser baseada em algum objetivo mindiff.

No caso de seu número de amostra N com 666 dígitos, esta função (com o limite de 10k aumentou um pouco) descobre que N ~= 165661162**81.0000000025, assim N-165661162**81como um número de 659 dígitos, corta 7 dígitos do número a ser tratado com um custo de 14 caracteres de expressão , uma falha.