Crie um triângulo de Pascal que seja uma lista aninhada e contenha zeros nos pontos não utilizados.

Na matriz de saída, os números do Triângulo de Pascal são separados por zeros e preenchidos por zeros em cada lado, para que sejam centralizados. Por exemplo, a linha inferior (última sub-matriz) não deve ter zeros à esquerda e à direita; o segundo e último sub-array possui um preenchimento zero em cada lado e assim por diante.

Aqui está a saída para entrada 5:

[[0,0,0,0,1,0,0,0,0],
[0,0,0,1,0,1,0,0,0],
[0,0,1,0,2,0,1,0,0],
[0,1,0,3,0,3,0,1,0],
[1,0,4,0,6,0,4,0,1]]

Como sempre, a solução com o menor número de bytes vence.

Mathematica, 70 68 bytes

NestList[ListConvolve[{1,0,1},#,2]&,Join[#,{1},#],#2]&[0~Table~#,#]&

Semelhante à solução MATL.

Mathematica, 48 bytes

CellularAutomaton[{#+#3&@@#&,{},1},{{1},0},#-1]&

CellularAutomation é fantástico.

Gelatina, 12 bytes

NR¬ṙ-,1S$³Ð¡

Experimente aqui.

Explicação

                   This is a list of functions, each operating on the input, n:
NR                 Get the range [-n -n+1 ... 0 ... n-1 n].
  ¬                Logical NOT the entire range: [0 0 ... 1 ... 0 0].
         ³Ð¡       Repeat n times, and cumulate the results:
   ṙ-,1                Rotate by both -1 and 1
       S               Sum the results.
        $              (Joins the above two functions)

Haskell, 66 bytes

q n|d<-0<$[2..n]=scanl(\(s:t)_->zipWith(+)(0:s:t)$t++[0])(d++1:d)d

Exemplo de uso: q 4-> [[0,0,0,1,0,0,0],[0,0,1,0,1,0,0],[0,1,0,2,0,1,0],[1,0,3,0,3,0,1]].

Como funciona:

d <- 0<$[2..n]                      -- bind d to a list of (length n)-1 zeros
scanl                               -- build a list
                         (d++1:d)   -- starting with  [d ++ 1 ++ d]
      \(s:t)_                    d  -- by combining the previous element with the
                                    -- elements of d, but ignoring them, i.e.
                                    -- build a list of (length d) by repeatedly
                                    -- modifying the start element by
          zipWith(+)                -- adding element-wise
                    (0:s:t)         -- the previous element prepended by 0  
                           t++[0]   -- and the tail of the previous element
                                    -- followed by a 0 

Python 3, 172 158 133 bytes

def p(n):
 x=2*n+1;y=range
 a=[[0]*x]*n;a[0][n]=1
 for i in y(1,n+1):
  for j in y(x):a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][(j+1)%(x)]
 return a

Continua melhorando

MATL , 24 22 21 bytes

tEq:=Gq:"t5BX+8L)]N$v

EDIT (20 de maio de 2016): a partir da versão 18.0.0 do idioma, o código acima precisa de algumas alterações para ser executado. O link abaixo inclui essas modificações

Experimente online!

Isso usa um loop para enviar cada nova linha para a pilha. Uma nova linha é calculada a partir da linha anterior, aplicando convolução com [1,0,1]e mantendo apenas o tamanho desejado. Após o loop, todas as linhas são concatenadas em uma matriz 2D, que é exibida. A matriz 2D é exibida em MATL como tabelas numéricas alinhadas à coluna.

t           % implicit input n. Duplicate
Eq          % 2*n-1
:           % range [1,2,...,2*n-1]
=           % gives [0,0,...1,...0,0]. This is the first row
Gq:         % range [1,2,...,n-1]
"           % for each. Repeat n-1 times
  t         %   duplicate latest row. This duplicate will become the next row
  5B        %   push array [1,0,1] (5 converted to binary)
  X+        %   convolution
  8L        %   predefined literal [2,-1i]. Used for indexing
  )         %   apply that index: remove one element at each end
]           % end for each
N$v         % concatenate all rows into a 2D array. Implicitly display

Javascript, 152 146 bytes

f=i=>[...Array(i)].map((x,j)=>(z=[...Array(i*2-1)].map((_,k)=>+!!~[i-j,i+j].indexOf(k+1)),y=j?z.map((_,k)=>_||(k&&(k+1 in y)?y[k-1]+y[k+1]:_)):z))

f=i=>[...Array(i)].map(
    (x,j)=>(
        z=[...Array(i*2-1)].map(
            (_,k)=>
                +!!~[i-j,i+j]
                    .indexOf(k+1)
        ),
        y=j?z.map(
            (_,k)=>_||
                (k&&(k+1 in y)?
                    y[k-1]+y[k+1]
                :_)
        ):z
    )
)

F=i=>JSON.stringify(f(+i)).replace(/],|^.|.(?=.$)/g,'$&\n')
I.oninput()

<input id=I onInput="O.innerHTML=F(I.value)" value=5><pre id=O>

Sério, 33 bytes

╩╜r`╣;lD0nkdZΣ`M╜rRZ`i0nkd@;)kΣ`M

Experimente online

Estou relativamente certo de que pelo menos 7 desses bytes podem ser removidos, por isso vou esperar para postar uma explicação até terminar de jogar ainda mais.

PHP , 106 bytes

for(;$r++<$a=$argn;)for($c=-$a;++$c<$a;)$t[$r][$c]=$r>1|$c?$t[$r-1][$c-1]+$t[$r-1][$c+1]?:0:1;print_r($t);

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