A derivada de uma função é uma pedra angular da matemática, engenharia, física, biologia, química e também um grande número de outras ciências. Hoje vamos calcular algo apenas tangencialmente relacionado: a derivada aritmética.

Definição

A derivada aritmética a(n)ou n'é definida aqui ( A003415 ) por um número de propriedades semelhantes à derivada de uma função.

• a(0) = a(1) = 0,
• a(p) = 1, onde pestá qualquer prime, e
• a(mn) = m*a(n) + n*a(m).

A terceira regra é baseada na regra do produto para a diferenciação de funções: para funções f(x)e g(x), (fg)' = f'g + fg'. Então, com números (ab)' = a'b + ab'.

Além disso, como a derivada aritmética pode ser estendida aos números negativos por meio dessa relação simples a(-n) = -a(n), a entrada pode ser negativa.

Regras

• Escreva um programa ou função que, dado qualquer número inteiro n, retorne a derivada aritmética de n.
• As entradas serão , para evitar problemas com tamanhos e números inteiros muito grandes para levar em consideração uma quantidade de tempo razoável. Seu algoritmo ainda deve ser capaz de calcular teoricamente a derivada aritmética de números fora desse intervalo.-230 < n < 230
• São permitidos embutidos para matemática simbólica, fatoração principal e diferenciação.

Exemplos

> a(1)
0
> a(7)
1
> a(14)   # a(7)*2 + a(2)*7 = 1*2 + 1*7 = 9
9
> a(-5)   # a(-5) = -a(5) = -1
-1
> a(8)    # a(8) = a(2**3) = 3*2**2 = 12
12
> a(225)  # a(225) = a(9)*25 + a(25)*9 = 6*25 + 10*9 = 150 + 90 = 240
240
> a(299792458)  # a(299792458) = a(2)*149896229 + a(7)*42827494 + a(73)*4106746 + a(293339)*1022 = 1*149896229 + 1*42827494 + 1*4106746 + 1*1022 = 149896229 + 42827494 + 4106746 + 1022 = 196831491
196831491

Como sempre, se o problema não estiver claro, entre em contato. Boa sorte e bom golfe!

MATL , 12 bytes

|1>?GtYf/s}0

Experimente online!

Explicação

Considere um número inteiro a com | a |> 1, e deixe os fatores primários (possivelmente repetidos) de | a | seja f ₁ , ..., f _n . Então o resultado desejado é a · (1 / f ₁ + ... + 1 / f _n ).

|1>     % take input's absolute value. Is it greater than 1?
?       % if so:
  Gt    %   push input twice
  Yf    %   prime factors. For negative input uses its absolute value
  /     %   divide element-wise
  s     %   sum of the array
}       % else:
  0     %   push 0

Python, 59 bytes

f=lambda n,p=2:+(n*n>1)and(n%p and f(n,p+1)or p*f(n/p)+n/p)

Uma função recursiva. Em entradas grandes, fica sem profundidade de pilha em sistemas típicos, a menos que você a execute com algo como o Stackless Python .

A definição recursiva é implementada diretamente, contando até a busca de fatores primos candidatos. Desde af(prime)=1 , se ntem um primo pcomo um fator, nós temos f(n) == p*f(n/p)+n/p.

Geléia, 8 7 bytes

-1 byte por @Dennis

ÆfḟṠ³:S

Usa a mesma fórmula que todo mundo faz. No entanto, há um pequeno truque para lidar com0 .

o¬AÆfİS×     Main link. Inputs: n
o¬             Logical OR of n with its logical NOT
               That is, 0 goes to 1 and everything else goes to itself.
  A            Then take the absolute value
   Æf          get its list of prime factors
     İ         divide 1 by those
      S        sum
       ×       and multiply by the input.

Experimente aqui .

Python 2, 87 78 76 74 bytes

a=b=input()
d=2
s=0
while d<=abs(b):
    if a%d==0:
        a=a/d
        s+=b/d
    else:
        d+=1
print s

Melhorias graças a @Maltysen:

a=b=input()
d=2
s=0
while d<=abs(b):
    if a%d==0:a/=d;s+=b/d
    else:d+=1
print s

Melhoria adicional em dois bytes:

a=b=input()
d=2
s=0
while abs(a)>1:
    if a%d<1:a/=d;s+=b/d
    else:d+=1
print s

Melhorias adicionais graças ao @xnor:

a=b=input()
d=2
s=0
while a*a>1:
    if a%d<1:a/=d;s+=b/d
    else:d+=1
print s

Explicação

A derivada aritmética de aé igual a avezes a soma dos recíprocos dos fatores primos de a. Nenhuma exceção para 1 é necessária, uma vez que a soma dos recíprocos dos fatores primos de 1 é zero.

Haskell, 203 90 bytes

Obrigado @nimi!

Ainda não tenho idéia de quando quais recuos causam qual interpretação, esse é o mais curto que consegui até agora e, como sempre, tenho certeza de que pode jogar muito mais. Vou tentar novamente à noite.

n#(x:_)|y<-div n x=x*a y+y*a x;_#_=1
a n|n<0= -a(-n)|n<2=0|1<2=n#[i|i<-[2..n-1],mod n i<1]

J, 30 27 19 caracteres

Obrigado a @Dennis por cortar 3 caracteres.

Obrigado ao @Zgarb por cortar 8 caracteres.

0:`(*[:+/%@q:@|)@.*

Experimente online!

Entrada de amostra:

0:`(*[:+/%@q:@|)@.* _8
_12

0:`(*[:+/%@q:@|)@.* 0
0

0:`(*[:+/%@q:@|)@.* 8
12

Como funciona:

0:`(*[:+/%@q:@|)@.* N
XX`YYYYYYYYYYYYY@.Z   if Z then Y else X end
0:                        X:  return 0
                  Z       Z:  signum(N)
   (*[:+/%@q:@|)          Y:  N*add_all(reciprocal_all(all_prime_factors(abs(N))))
                              N
    *                          *
      [:+/                      add_all(                                         )
          %@                            reciprocal_all(                         )
            q:@                                       all_prime_factors(      )
               |                                                        abs( )
                                                                            N

Pitão - 10 8 bytes

Amando a entrada implícita! Deve equipará-lo a Jelly para a maioria das coisas (exceto as habilidades de golfe de Dennis).

*scL1P.a

Conjunto de Teste .

*             Times the input, implicitly (This also adds the sign back in)
 s            Sum
  cL1         Reciprocal mapped over lit
   P          Prime factorization
    .a        Absolute value of input, implicitly

Haskell, 59 bytes

n%p|n*n<2=0|mod n p>0=n%(p+1)|r<-div n p=r+p*r%2
(%2)

Implementa a definição recursiva diretamente, com uma variável auxiliar pque conta até procurar possíveis fatores primos, começando em 2. A última linha é a função principal, que se conecta p=2à função binária definida na primeira linha.

A função verifica cada caso por sua vez:

• Se n*n<2, então né um dos -1,0,1, e o resultado é 0.
• Se nnão for múltiplo de p, aumentep and continue.
• Caso contrário, expresse n=p*re pela propriedade "derivada", o resultado é r*a(p)+p*a(r), o que simplifica r+p*a(r)porque pé primo.

The last case saves bytes by binding r in a guard, which also avoids the 1>0 for the boilerplate otherwise. If r could be bound earlier, the second condition mod n p>0 could be checked as r*p==n, which is 3 bytes shorter, but I don't see how to do that.

Seriously, 17 14 11 12 bytes

My first ever Seriously answer. This answer is based on Luis Mendo's MATL answer and the idea that the arithmetic derivative of a number m is equal to m·(1/p1 + 1/p2 + ... + 1/pn) where p1...pn is every prime factor of n to multiplicity. My addition is to note that, if m = p1e1·p2e2·...·pnen, then a(m) = m·(e1/p1 + e2/p2 + ... + en/pn). Thanks to Mego for golfing and bug fixing help. Try it online!

,;w`i@/`MΣ*l

Ungolfing:

,             get a single input
 ;w           duplicate input and get prime factorization, p_f
               for input [-1..1], this returns [] and is dealt with at the end
   `   `M     map the function inside `` to p_f
    i         pop all elements of p_f[i], the prime and the exponent, to the stack
     @        rotate so that the exponent is at the top of the stack
      /       divide the exponent by the prime
         Σ    sum it all together
          *   multiply this sum with the input
           l  map and multiply do not affect an empty list, so we just take the length, 0
               l is a no-op for a number, so the result is unchanged for all other inputs

Japt -x, 16 13 10 bytes

ÒU©a k £/X

- 6 bytes thanks to @Shaggy

Try it online!

APL (Dyalog Extended), 13 9 bytes

A simple solution. The Dyalog Unicode version was simply a longer version of this so it has been omitted.

Edit: Saved 4 bytes by adopting the method in lirtosiast's Jelly solution.

{+/⍵÷⍭|⍵}

Try it online!

Ungolfing

{+/⍵÷⍭|⍵}

{        }  A dfn, a function in {} brackets.
     ⍭|⍵   The prime factors of the absolute value of our input.
   ⍵÷      Then divide our input by the above array,
            giving us a list of products for the product rule.
 +/         We sum the above numbers, giving us our arithmetic derivative.

Ruby, 87 66 80 75 70 68 bytes

This answer is based on Luis Mendo's MATL answer, wythagoras's Python answer, and the idea that the arithmetic derivative of a number m is equal to m·(1/p1 + 1/p2 + ... + 1/pn) where p1...pn is every prime factor of n to multiplicity.

->n{s=0;(2...m=n.abs).map{|d|(m/=d;s+=n/d)while m%d<1};m<2?0:s+0**s}

This function is called in the following way:

> a=->n{s=0;(2...m=n.abs).map{|d|(m/=d;s+=n/d)while m%d<1};m<2?0:s+0**s}
> a[299792458]
196831491

Ungolfing:

def a(n)
  s = 0
  m = n.abs
  (2...m).each do |z|
    while m%d == 0
      m /= d
      s += n / d
    end
  end
  if s == 0
    if n > 1
      s += 1 # if s is 0, either n is prime and the while loop added nothing, so add 1
             # or n.abs < 2, so return 0 anyway
             # 0**s is used in the code because it returns 1 if s == 0 and 0 for all other s
    end
  end
  return s
end

Julia, 72 43 bytes

n->n^2>1?sum(p->n÷/(p...),factor(n^2))/2:0

This is an anonymous function that accepts an integer and returns a float. To call it, assign it to a variable.

For an input integer n, if n² ≤ 1 return 0. Otherwise obtain the prime factorization of n² as a Dict, then for each prime/exponent pair, divide the prime by its exponent, then divide n by the result. This is just computing n x / p, where p is the prime factor and x is its exponent, which is the same as summing n / p, x times. We sum the resulting array and divide that by 2, since we've summed twice as much as we need. That's due to the fact that we're factoring n² rather than n. (Doing that is a byte shorter than factoring |n|.)

Saved 29 bytes thanks to Dennis!

Jolf, 13 bytes

*jmauΜm)jd/1H

Kudos to the MATL answer for the algorithm! Try it here, or test them all at once. (Outputs [key,out] in an array.)

Explanation

*jmauΜm)jd/1H
*j             input times
      m)j         p.f. of input
     Μ   d/1H      mapped to inverse
    u            sum of
  ma            abs of

Mathematica 10.0, 39 bytes

Tr[If[#>1,#2/#,0]&@@@FactorInteger@#]#&

APL(NARS), 35 char, 70 bytes

{1≥a←∣⍵:0⋄1=≢k←πa:×⍵⋄c+m×∇c←⍵÷m←↑k}

test and how to use:

  f←{1≥a←∣⍵:0⋄1=≢k←πa:×⍵⋄c+m×∇c←⍵÷m←↑k}
  f 14
9
  f 8
12
  f 225
240
  f ¯5
¯1
  f 299792458
196831491

I thought that it would not be ok because I don't know if c variable is composed (and not a prime)... But seems ok for the test...

05AB1E, 7 4 bytes

ÄÒ÷O

Port of @lirtosiast's Jelly answer.

Try it online or verify all test cases.

Explanation:

Ä     # Take the absolute value of the (implicit) input
 Ò    # Get all its prime factors (with duplicates)
  ÷   # Integer divide the (implicit) input by each of these prime factors
   O  # And take the sum (which is output implicitly)

Perl 5, 62 bytes

perl -MMath::Prime::Util=:all -E"map$i+=1/$_,factor abs($j=<>);say$i*$j"

Uses the formula (from OEIS): If n = Product p_i^e_i, a(n) = n * Sum (e_i/p_i).

Perl 6, 90

sub A(\n) {0>n??-A(-n)!!(n>1)*{$_??n/$_*A($_)+$_*A n/$_!!1}(first n%%*,2..^n)};say A slurp

This might be a bit slow for large numbers. Replace 2..^n with 2..n.sqrt for longer code but faster computation.

Ink, 183 bytes

==function a(n)
{n<0:
~return-a(-n)
}
{n<2:
~return 0
}
~temp f=t(n,2)
{f:
~return a(n/f)*f+n/f
}
~return 1
==function t(n,i)
{n>1&&n-i:
{n%i:
~return t(n,i+1)
}
~return i
}
~return 0

Try it online!

I refuse to believe this is a good solution, but I can't see a way to improve it either.

Pari/GP, 45 bytes

n->n*vecsum([i[2]/i[1]|i<-factor(n)~,i[1]>0])

Try it online!