Python (com PyPy JIT v1.9) ~ 1.9s
Usando uma peneira quadrática polinomial múltipla . Entendi que isso era um desafio de código, então optei por não usar nenhuma biblioteca externa (exceto a logfunção padrão , suponho). Ao cronometrar, o PyPy JIT deve ser usado, pois resulta em tempos 4-5 vezes mais rápidos que o do cPython .
Atualização (29/07/2013):
Desde a publicação original, fiz várias alterações menores, mas significativas, que aumentam a velocidade geral em um fator de cerca de 2,5x.
Atualização (27/08/2014):
Como esta postagem ainda está recebendo atenção, atualizei a my_math.pycorreção de dois erros para qualquer pessoa que possa estar usando:
isqrtestava com defeito, às vezes produzindo saída incorreta para valores muito próximos de um quadrado perfeito. Isso foi corrigido e o desempenho aumentou usando uma semente muito melhor.is_primeTem sido atualizado. Minha tentativa anterior de remover 2 sprips quadrados perfeitos foi sem entusiasmo, na melhor das hipóteses. Adicionei uma verificação de 3 sprp - uma técnica usada pelo Mathmatica - para garantir que o valor testado seja sem quadrados.
Atualização (24/11/2014):
se ao final do cálculo não forem encontradas congruências não triviais, o programa agora peneirará polinômios adicionais. Isso foi marcado anteriormente no código como TODO.
mpqs.py
from my_math import *
from math import log
from time import clock
from argparse import ArgumentParser
# Multiple Polynomial Quadratic Sieve
def mpqs(n, verbose=False):
if verbose:
time1 = clock()
root_n = isqrt(n)
root_2n = isqrt(n+n)
# formula chosen by experimentation
# seems to be close to optimal for n < 10^50
bound = int(5 * log(n, 10)**2)
prime = []
mod_root = []
log_p = []
num_prime = 0
# find a number of small primes for which n is a quadratic residue
p = 2
while p < bound or num_prime < 3:
# legendre (n|p) is only defined for odd p
if p > 2:
leg = legendre(n, p)
else:
leg = n & 1
if leg == 1:
prime += [p]
mod_root += [int(mod_sqrt(n, p))]
log_p += [log(p, 10)]
num_prime += 1
elif leg == 0:
if verbose:
print 'trial division found factors:'
print p, 'x', n/p
return p
p = next_prime(p)
# size of the sieve
x_max = len(prime)*60
# maximum value on the sieved range
m_val = (x_max * root_2n) >> 1
# fudging the threshold down a bit makes it easier to find powers of primes as factors
# as well as partial-partial relationships, but it also makes the smoothness check slower.
# there's a happy medium somewhere, depending on how efficient the smoothness check is
thresh = log(m_val, 10) * 0.735
# skip small primes. they contribute very little to the log sum
# and add a lot of unnecessary entries to the table
# instead, fudge the threshold down a bit, assuming ~1/4 of them pass
min_prime = int(thresh*3)
fudge = sum(log_p[i] for i,p in enumerate(prime) if p < min_prime)/4
thresh -= fudge
if verbose:
print 'smoothness bound:', bound
print 'sieve size:', x_max
print 'log threshold:', thresh
print 'skipping primes less than:', min_prime
smooth = []
used_prime = set()
partial = {}
num_smooth = 0
num_used_prime = 0
num_partial = 0
num_poly = 0
root_A = isqrt(root_2n / x_max)
if verbose:
print 'sieving for smooths...'
while True:
# find an integer value A such that:
# A is =~ sqrt(2*n) / x_max
# A is a perfect square
# sqrt(A) is prime, and n is a quadratic residue mod sqrt(A)
while True:
root_A = next_prime(root_A)
leg = legendre(n, root_A)
if leg == 1:
break
elif leg == 0:
if verbose:
print 'dumb luck found factors:'
print root_A, 'x', n/root_A
return root_A
A = root_A * root_A
# solve for an adequate B
# B*B is a quadratic residue mod n, such that B*B-A*C = n
# this is unsolvable if n is not a quadratic residue mod sqrt(A)
b = mod_sqrt(n, root_A)
B = (b + (n - b*b) * mod_inv(b + b, root_A))%A
# B*B-A*C = n <=> C = (B*B-n)/A
C = (B*B - n) / A
num_poly += 1
# sieve for prime factors
sums = [0.0]*(2*x_max)
i = 0
for p in prime:
if p < min_prime:
i += 1
continue
logp = log_p[i]
inv_A = mod_inv(A, p)
# modular root of the quadratic
a = int(((mod_root[i] - B) * inv_A)%p)
b = int(((p - mod_root[i] - B) * inv_A)%p)
k = 0
while k < x_max:
if k+a < x_max:
sums[k+a] += logp
if k+b < x_max:
sums[k+b] += logp
if k:
sums[k-a+x_max] += logp
sums[k-b+x_max] += logp
k += p
i += 1
# check for smooths
i = 0
for v in sums:
if v > thresh:
x = x_max-i if i > x_max else i
vec = set()
sqr = []
# because B*B-n = A*C
# (A*x+B)^2 - n = A*A*x*x+2*A*B*x + B*B - n
# = A*(A*x*x+2*B*x+C)
# gives the congruency
# (A*x+B)^2 = A*(A*x*x+2*B*x+C) (mod n)
# because A is chosen to be square, it doesn't need to be sieved
val = sieve_val = A*x*x + 2*B*x + C
if sieve_val < 0:
vec = set([-1])
sieve_val = -sieve_val
for p in prime:
while sieve_val%p == 0:
if p in vec:
# keep track of perfect square factors
# to avoid taking the sqrt of a gigantic number at the end
sqr += [p]
vec ^= set([p])
sieve_val = int(sieve_val / p)
if sieve_val == 1:
# smooth
smooth += [(vec, (sqr, (A*x+B), root_A))]
used_prime |= vec
elif sieve_val in partial:
# combine two partials to make a (xor) smooth
# that is, every prime factor with an odd power is in our factor base
pair_vec, pair_vals = partial[sieve_val]
sqr += list(vec & pair_vec) + [sieve_val]
vec ^= pair_vec
smooth += [(vec, (sqr + pair_vals[0], (A*x+B)*pair_vals[1], root_A*pair_vals[2]))]
used_prime |= vec
num_partial += 1
else:
# save partial for later pairing
partial[sieve_val] = (vec, (sqr, A*x+B, root_A))
i += 1
num_smooth = len(smooth)
num_used_prime = len(used_prime)
if verbose:
print 100 * num_smooth / num_prime, 'percent complete\r',
if num_smooth > num_used_prime:
if verbose:
print '%d polynomials sieved (%d values)'%(num_poly, num_poly*x_max*2)
print 'found %d smooths (%d from partials) in %f seconds'%(num_smooth, num_partial, clock()-time1)
print 'solving for non-trivial congruencies...'
used_prime_list = sorted(list(used_prime))
# set up bit fields for gaussian elimination
masks = []
mask = 1
bit_fields = [0]*num_used_prime
for vec, vals in smooth:
masks += [mask]
i = 0
for p in used_prime_list:
if p in vec: bit_fields[i] |= mask
i += 1
mask <<= 1
# row echelon form
col_offset = 0
null_cols = []
for col in xrange(num_smooth):
pivot = col-col_offset == num_used_prime or bit_fields[col-col_offset] & masks[col] == 0
for row in xrange(col+1-col_offset, num_used_prime):
if bit_fields[row] & masks[col]:
if pivot:
bit_fields[col-col_offset], bit_fields[row] = bit_fields[row], bit_fields[col-col_offset]
pivot = False
else:
bit_fields[row] ^= bit_fields[col-col_offset]
if pivot:
null_cols += [col]
col_offset += 1
# reduced row echelon form
for row in xrange(num_used_prime):
# lowest set bit
mask = bit_fields[row] & -bit_fields[row]
for up_row in xrange(row):
if bit_fields[up_row] & mask:
bit_fields[up_row] ^= bit_fields[row]
# check for non-trivial congruencies
for col in null_cols:
all_vec, (lh, rh, rA) = smooth[col]
lhs = lh # sieved values (left hand side)
rhs = [rh] # sieved values - n (right hand side)
rAs = [rA] # root_As (cofactor of lhs)
i = 0
for field in bit_fields:
if field & masks[col]:
vec, (lh, rh, rA) = smooth[i]
lhs += list(all_vec & vec) + lh
all_vec ^= vec
rhs += [rh]
rAs += [rA]
i += 1
factor = gcd(list_prod(rAs)*list_prod(lhs) - list_prod(rhs), n)
if factor != 1 and factor != n:
break
else:
if verbose:
print 'none found.'
continue
break
if verbose:
print 'factors found:'
print factor, 'x', n/factor
print 'time elapsed: %f seconds'%(clock()-time1)
return factor
if __name__ == "__main__":
parser =ArgumentParser(description='Uses a MPQS to factor a composite number')
parser.add_argument('composite', metavar='number_to_factor', type=long,
help='the composite number to factor')
parser.add_argument('--verbose', dest='verbose', action='store_true',
help="enable verbose output")
args = parser.parse_args()
if args.verbose:
mpqs(args.composite, args.verbose)
else:
time1 = clock()
print mpqs(args.composite)
print 'time elapsed: %f seconds'%(clock()-time1)
my_math.py
# divide and conquer list product
def list_prod(a):
size = len(a)
if size == 1:
return a[0]
return list_prod(a[:size>>1]) * list_prod(a[size>>1:])
# greatest common divisor of a and b
def gcd(a, b):
while b:
a, b = b, a%b
return a
# modular inverse of a mod m
def mod_inv(a, m):
a = int(a%m)
x, u = 0, 1
while a:
x, u = u, x - (m/a)*u
m, a = a, m%a
return x
# legendre symbol (a|m)
# note: returns m-1 if a is a non-residue, instead of -1
def legendre(a, m):
return pow(a, (m-1) >> 1, m)
# modular sqrt(n) mod p
# p must be prime
def mod_sqrt(n, p):
a = n%p
if p%4 == 3:
return pow(a, (p+1) >> 2, p)
elif p%8 == 5:
v = pow(a << 1, (p-5) >> 3, p)
i = ((a*v*v << 1) % p) - 1
return (a*v*i)%p
elif p%8 == 1:
# Shank's method
q = p-1
e = 0
while q&1 == 0:
e += 1
q >>= 1
n = 2
while legendre(n, p) != p-1:
n += 1
w = pow(a, q, p)
x = pow(a, (q+1) >> 1, p)
y = pow(n, q, p)
r = e
while True:
if w == 1:
return x
v = w
k = 0
while v != 1 and k+1 < r:
v = (v*v)%p
k += 1
if k == 0:
return x
d = pow(y, 1 << (r-k-1), p)
x = (x*d)%p
y = (d*d)%p
w = (w*y)%p
r = k
else: # p == 2
return a
#integer sqrt of n
def isqrt(n):
c = n*4/3
d = c.bit_length()
a = d>>1
if d&1:
x = 1 << a
y = (x + (n >> a)) >> 1
else:
x = (3 << a) >> 2
y = (x + (c >> a)) >> 1
if x != y:
x = y
y = (x + n/x) >> 1
while y < x:
x = y
y = (x + n/x) >> 1
return x
# strong probable prime
def is_sprp(n, b=2):
if n < 2: return False
d = n-1
s = 0
while d&1 == 0:
s += 1
d >>= 1
x = pow(b, d, n)
if x == 1 or x == n-1:
return True
for r in xrange(1, s):
x = (x * x)%n
if x == 1:
return False
elif x == n-1:
return True
return False
# lucas probable prime
# assumes D = 1 (mod 4), (D|n) = -1
def is_lucas_prp(n, D):
P = 1
Q = (1-D) >> 2
# n+1 = 2**r*s where s is odd
s = n+1
r = 0
while s&1 == 0:
r += 1
s >>= 1
# calculate the bit reversal of (odd) s
# e.g. 19 (10011) <=> 25 (11001)
t = 0
while s:
if s&1:
t += 1
s -= 1
else:
t <<= 1
s >>= 1
# use the same bit reversal process to calculate the sth Lucas number
# keep track of q = Q**n as we go
U = 0
V = 2
q = 1
# mod_inv(2, n)
inv_2 = (n+1) >> 1
while t:
if t&1:
# U, V of n+1
U, V = ((U + V) * inv_2)%n, ((D*U + V) * inv_2)%n
q = (q * Q)%n
t -= 1
else:
# U, V of n*2
U, V = (U * V)%n, (V * V - 2 * q)%n
q = (q * q)%n
t >>= 1
# double s until we have the 2**r*sth Lucas number
while r:
U, V = (U * V)%n, (V * V - 2 * q)%n
q = (q * q)%n
r -= 1
# primality check
# if n is prime, n divides the n+1st Lucas number, given the assumptions
return U == 0
# primes less than 212
small_primes = set([
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, 97,101,103,107,109,113,
127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,
179,181,191,193,197,199,211])
# pre-calced sieve of eratosthenes for n = 2, 3, 5, 7
indices = [
1, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,
89, 97,101,103,107,109,113,121,127,131,
137,139,143,149,151,157,163,167,169,173,
179,181,187,191,193,197,199,209]
# distances between sieve values
offsets = [
10, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6,
6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4,
2, 4, 8, 6, 4, 6, 2, 4, 6, 2, 6, 6,
4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 2,10, 2]
max_int = 2147483647
# an 'almost certain' primality check
def is_prime(n):
if n < 212:
return n in small_primes
for p in small_primes:
if n%p == 0:
return False
# if n is a 32-bit integer, perform full trial division
if n <= max_int:
i = 211
while i*i < n:
for o in offsets:
i += o
if n%i == 0:
return False
return True
# Baillie-PSW
# this is technically a probabalistic test, but there are no known pseudoprimes
if not is_sprp(n, 2): return False
# idea shamelessly stolen from Mathmatica
# if n is a 2-sprp and a 3-sprp, n is necessarily square-free
if not is_sprp(n, 3): return False
a = 5
s = 2
# if n is a perfect square, this will never terminate
while legendre(a, n) != n-1:
s = -s
a = s-a
return is_lucas_prp(n, a)
# next prime strictly larger than n
def next_prime(n):
if n < 2:
return 2
# first odd larger than n
n = (n + 1) | 1
if n < 212:
while True:
if n in small_primes:
return n
n += 2
# find our position in the sieve rotation via binary search
x = int(n%210)
s = 0
e = 47
m = 24
while m != e:
if indices[m] < x:
s = m
m = (s + e + 1) >> 1
else:
e = m
m = (s + e) >> 1
i = int(n + (indices[m] - x))
# adjust offsets
offs = offsets[m:] + offsets[:m]
while True:
for o in offs:
if is_prime(i):
return i
i += o
E / S de amostra:
$ pypy mpqs.py --verbose 94968915845307373740134800567566911
smoothness bound: 6117
sieve size: 24360
log threshold: 14.3081031579
skipping primes less than: 47
sieving for smooths...
144 polynomials sieved (7015680 values)
found 405 smooths (168 from partials) in 0.513794 seconds
solving for non-trivial congruencies...
factors found:
216366620575959221 x 438925910071081891
time elapsed: 0.685765 seconds
$ pypy mpqs.py --verbose 523022617466601111760007224100074291200000001
smoothness bound: 9998
sieve size: 37440
log threshold: 15.2376302725
skipping primes less than: 59
sieving for smooths...
428 polynomials sieved (32048640 values)
found 617 smooths (272 from partials) in 1.912131 seconds
solving for non-trivial congruencies...
factors found:
14029308060317546154181 x 37280713718589679646221
time elapsed: 2.064387 seconds
Nota: não usar a --verboseopção fornecerá tempos ligeiramente melhores:
$ pypy mpqs.py 94968915845307373740134800567566911
216366620575959221
time elapsed: 0.630235 seconds
$ pypy mpqs.py 523022617466601111760007224100074291200000001
14029308060317546154181
time elapsed: 1.886068 seconds
Conceitos básicos
Em geral, uma peneira quadrática é baseada na seguinte observação: qualquer composto ímpar n pode ser representado como:
Isso não é muito difícil de confirmar. Como n é ímpar, a distância entre quaisquer dois co-fatores de n deve ser igual a 2d , onde x é o ponto médio entre eles. Além disso, a mesma relação vale para qualquer múltiplo de n
Observe que, se qualquer um desses x e d puder ser encontrado, ele resultará imediatamente em um fator (não necessariamente primo) de n , pois x + d e x - d dividem n por definição. Essa relação pode ser ainda mais enfraquecida - na conseqüência de permitir possíveis congruências triviais - da seguinte forma:
So in general, if we can find two perfect squares which are equivalent mod n, then it's fairly likely that we can directly produce a factor of n a la gcd(x ± d, n). Seems pretty simple, right?
Exceto que não é. Se pretendíamos realizar uma pesquisa exaustiva sobre todo x possível , precisaríamos pesquisar o intervalo inteiro de [ √ n , √ ( 2n ) ], que é marginalmente menor que a divisão de teste completa, mas também exige uma is_squareoperação cara a cada iteração para confirme o valor de d . A menos que seja sabido de antemão que n tem fatores muito próximos de √ n , a divisão de teste provavelmente será mais rápida.
Talvez possamos enfraquecer ainda mais essa relação. Suponha que escolhemos um x , de modo que, para
uma fatoração primária completa de y é facilmente conhecida. Se tivéssemos essas relações suficientes, poderíamos construir um d adequado , se escolhermos um número de y de modo que o produto deles seja um quadrado perfeito; isto é, todos os fatores primos são usados um número par de vezes. De fato, se tivermos mais y do que o número total de fatores primos únicos que eles contêm, é garantida a existência de uma solução; Torna-se um sistema de equações lineares. A questão agora é: como escolhemos esse x ? É aí que a peneira entra em jogo.
A peneira
Considere o polinômio:
Então, para qualquer primo p e inteiro k , o seguinte é verdadeiro:
Isso significa que, depois de resolver as raízes do polinômio mod p - ou seja, você encontrou um x de modo que y (x) ≡ 0 (mod p) , ergo y é divisível por p - e encontrou um número infinito de tal x . Dessa forma, você pode peneirar um intervalo de x , identificando pequenos fatores primos de y , esperançosamente encontrando alguns para os quais todos os fatores primos são pequenos. Números conhecidos como k-smooth , onde k é o maior fator primordial usado.
Existem alguns problemas com essa abordagem. Nem todos os valores de x são adequados; na verdade, existem apenas muito poucos, centrados em torno de √ n . Valores menores se tornarão amplamente negativos (devido ao termo -n ), e valores maiores se tornarão muito grandes, de modo que é improvável que sua fatoração primária consista apenas em números primos pequenos. Haverá vários desses x , mas, a menos que o composto que você está fatorando seja muito pequeno, é altamente improvável que você encontre suavidades suficientes para resultar em uma fatoração. E assim, para n maior , torna-se necessário peneirar múltiplos polinômios de uma determinada forma.
Polinômios múltiplos
Então, precisamos de mais polinômios para peneirar? Que tal agora:
Isso vai funcionar. Observe que A e B podem literalmente ser qualquer valor inteiro, e a matemática ainda é válida. Tudo o que precisamos fazer é escolher alguns valores aleatórios, resolver a raiz do polinômio e peneirar os valores próximos de zero. Nesse ponto, poderíamos chamá-lo de bom o suficiente: se você atirar pedras suficientes em direções aleatórias, poderá quebrar uma janela mais cedo ou mais tarde.
Exceto, também há um problema com isso. Se a inclinação do polinômio for grande na interceptação x, o que será se não for relativamente plana, haverá apenas alguns valores adequados para peneirar por polinômio. Vai funcionar, mas você vai peneirar vários polinômios antes de conseguir o que precisa. Podemos fazer melhor?
Nós podemos fazer melhor. Uma observação, como resultado de Montgomery, é a seguinte: se A e B são escolhidos de modo que exista algum C satisfazendo
todo o polinômio pode ser reescrito como
Além disso, se A for escolhido como um quadrado perfeito, o termo A inicial poderá ser negligenciado durante a peneiração, resultando em valores muito menores e em uma curva muito mais plana. Para que essa solução exista, n deve ser um resíduo quadrático mod √ A , que pode ser conhecido imediatamente calculando o símbolo de Legendre :
( n | √A ) = 1 . Observe que, para resolver B , é necessário conhecer uma fatoração primária completa de √A (para obter a raiz quadrada modular √n (mod √A) ), e é por isso que √A é normalmente escolhido para ser primo.
Pode então ser mostrado que se 
, então, para todos os valores de x ∈ [ -M, M ] :
E agora, finalmente, temos todos os componentes necessários para implementar nossa peneira. Ou nós?
Poderes primários como fatores
Nossa peneira, como descrito acima, tem uma falha importante. Ele pode identificar quais valores de x resultarão em um y divisível por p , mas não pode identificar se esse y é divisível ou não por uma potência de p . Para determinar isso, precisaríamos realizar uma divisão de teste sobre o valor a ser peneirado, até que não seja mais divisível por p . Parecemos ter chegado a um impassé: o ponto principal da peneira era que não precisávamos fazer isso. Hora de verificar o manual.
Isso parece bastante útil. Se a soma do ln de todos os pequenos fatores primos de y estiver próxima do valor esperado de ln (y) , é quase certo que y não tenha outros fatores. Além disso, se ajustarmos um pouco o valor esperado, também podemos identificar valores tão suaves que possuem vários poderes de números primos como fatores. Dessa forma, podemos usar a peneira como um processo de 'pré-triagem' e apenas fatorar os valores que provavelmente serão suaves.
Isso também tem algumas outras vantagens. Observe que primos pequenos contribuem muito pouco para a soma final , mas ainda assim exigem mais tempo de peneira. Peneirar o valor 3 requer mais tempo que 11, 13, 17, 19 e 23 combinados . Em vez disso, podemos simplesmente pular os primeiros números primos e ajustar o limite de acordo, assumindo que uma certa porcentagem deles teria passado.
Outro resultado é que é permitido que vários valores "deslizem", que são na maioria suaves, mas contêm um único cofator grande. Poderíamos simplesmente descartar esses valores, mas suponha que encontrássemos outro valor praticamente suave, com exatamente o mesmo cofator. Podemos então usar esses dois valores para construir um y utilizável ; como o produto conterá esse grande cofator ao quadrado, ele não precisa mais ser considerado.
Juntando tudo
A última coisa que precisamos fazer é usar esses valores de y para construir x e d adequados . Suponha que consideremos apenas os fatores não quadrados de y , ou seja, os fatores primos de uma potência ímpar. Então, cada y pode ser expresso da seguinte maneira:
que pode ser expresso na forma de matriz:
O problema torna-se então para encontrar um vector v de tal modo que vM = ⦳ (modificação 2) , onde ⦳ é o vector nulo. Ou seja, para resolver para o espaço nulo esquerdo da M . Isso pode ser feito de várias maneiras, a mais simples das quais é para executar Gaussian Eliminação de M T , substituindo a operação de adição fila com uma linha xor . Isso resultará em vários vetores de base de espaço nulo, qualquer combinação dos quais produzirá uma solução válida.
A construção de x é bastante direta. É simplesmente o produto de Ax + B para cada um dos y usados. A construção de d é um pouco mais complicada. Se pegarmos o produto de todos os y , teremos um valor de 10s de milhares, se não 100s de milhares de dígitos, para o qual precisamos encontrar a raiz quadrada. Essa calcação é impraticável cara. Em vez disso, podemos manter o controle dos poderes pares de primos durante o processo de peneiramento, e depois usar e e XOR operações sobre os vetores de fatores não-quadrados para reconstruir a raiz quadrada.
Parece que atingi o limite de 30000 caracteres. Ahh, bem, acho que isso é bom o suficiente.