Definição

O teorema de Wolstenholme afirma que:

onde ae bsão inteiros positivos e pé primo, e os grandes parênteses são o coeficiente binomial .

Tarefa

Para verificar isso, você receberá três entradas: a, b, p, onde ae bsão inteiros positivos e pé primo.

Calcular:

onde ae bsão inteiros positivos e pé primo, e os parênteses são coeficiente binomial .

Especificações

Desde a:

onde e os parênteses são coeficiente binomial .

Você pode assumir que 2b <= a

Casos de teste

a b p  output
6 2 5  240360
3 1 13 3697053
7 3 13 37403621741662802118325

Haskell, 73 71 bytes

Devido à recursão, essa implementação é muito lenta. Infelizmente, minha definição do coeficiente binomial tem o mesmo comprimento que import Math.Combinatorics.Exact.Binomial.

n#k|k<1||k>=n=1|1>0=(n-1)#(k-1)+(n-1)#k --binomial coefficient
f a b p=div((a*p)#(b*p)-a#b)p^3       --given formula

Uma curiosidade interessante é que Haskell 98 permitiu padrões aritméticos que teriam reduzido o mesmo código para 64 bytes:

g a b p=div((a*p)#(b*p)-a#b)p^3
n+1#k|k<1||k>n=1|1>0=n#(k-1)+n#k

Geléia , 12 11 10 bytes

ż×c/I÷S÷²}

Espera a, be pcomo argumentos de linha de comando.

Experimente online! ou verifique todos os casos de teste .

Como funciona

ż×c/I÷S÷²}  Main link. Left argument: a, b. Right argument: p

 ×          Multiply; yield [pa, pb].
ż           Zipwith; yield [[a, pa], [b, pb]].
  c/        Reduce columns by combinations, yielding [aCb, (pa)C(pb)].
    I       Increments; yield [(pa)C(pb) - aCb].
     ÷      Divide; yield [((pa)C(pb) - aCb) ÷ p].
      S     Sum; yield ((pa)C(pb) - aCb) ÷ p.
        ²}  Square right; yield p².
       ÷    Divide; yield  ((pa)C(pb) - aCb) ÷ p³.

Python 2, 114 109 85 71 bytes

Uma implementação simples. Sugestões de golfe são bem-vindas.

Editar: -29 bytes graças a Freira Furada e -14 bytes graças a Dennis.

lambda a,b,p,f=lambda n,m:m<1or f(n-1,m-1)*n/m:(f(a*p,b*p)-f(a,b))/p**3

Uma alternativa mais simples e do mesmo comprimento, graças a Dennis, é

f=lambda n,m:m<1or f(n-1,m-1)*n/m
lambda a,b,p:(f(a*p,b*p)-f(a,b))/p**3

05AB1E , 11 bytes

Toma entrada como:

[a, b]
p

Código:

*`c¹`c-²3m÷

Usa a codificação CP-1252 . Experimente online! .

R, 50 bytes 48

function(a,b,p)(choose(a*p,b*p)-choose(a,b))/p^3

Tão simples quanto possível ... Agradecemos ao @Neil por economizar 2 bytes.

MATL , 13 bytes

y*hZ}Xnd2G3^/

Experimente online!

O último caso de teste não produz um número inteiro exato devido à precisão numérica. O tipo de dados padrão do MATL ( double) pode lidar com números inteiros exatos até 2^53.

Explicação

y   % Implicitly input [a; b] (col vector) and p (number). Push another copy of [a; b]
    %   Stack: [a; b], p, [a; b]
*   % Multiply the top two elements from the stack
    %   Stack: [a; b], [a*p; b*p]
h   % Concatenate horizontally
    %   Stack: [a, a*p; b, b*p]
Z}  % Split along first dimension
    %   Stack: [a, a*p], [b, b*p]
Xn  % Vectorize nchoosek
    %   Stack: [nchoosek(a,b), nchoosek(a*p,b*p)]
d   % Consecutive differences of array
    %   Stack: nchoosek(a,b)-nchoosek(a*p,b*p)
2G  % Push second input again
    %   Stack: nchoosek(a,b)-nchoosek(a*p,b*p), p
3^  % Raise to third power
    %   Stack: nchoosek(a,b)-nchoosek(a*p,b*p), p^3
/   % Divide top two elements from the stack
    %   Stack: (nchoosek(a,b)-nchoosek(a*p,b*p))/p^3
    % Implicitly display

J, 17 bytes

(!/@:*-!/@[)%]^3:

Uso

(b,a) ( (!/@:*-!/@[)%]^3: ) p

Por exemplo:

   2 6 ( (!/@:*-!/@[)%]^3: ) 5
240360

Esta é apenas uma implementação direta da fórmula até agora.

Nota : para a terceira caixa de teste, os números de entrada devem ser definidos como estendidos (para lidar com grandes aritméticas):

   3x 7x ( (!/@:*-!/@[)%]^3: ) 13x
37403621741662802118325

Braquilog , 52 bytes

tT;T P&t^₃D&h↰₁S&h;Pz×₎ᵐ↰₁;S-;D/
hḟF&⟨{-ḟ}×{tḟ}⟩;F↻/

Experimente online!

Aceita entrada [[a, b], p].

% Predicate 1 - Given [n, r], return binomial(n, r)
hḟF              % Compute n!, set as F
&⟨               % Fork:
  {-ḟ}           % (n - r)!
  ×              % times
  {tḟ}           % r!
⟩                
;F↻              % Prepend n! to that
/                % Divide n! by the product and return

% Predicate 0 (Main)
tT;T P           % Set P to the array [p, p] 
&t^₃D            % Set D as p^3
&h↰₁S            % Call predicate 1 on [a, b], 
                 %  set S as the result binomial(a, b)
&h;Pz×₎ᵐ         % Form array [ap, bp]
↰₁               % Call predicate 1 on that to get binomial(ap, bp)
;S-              % Get binomial(ap, bp) - binomial(a, b)
;D/              % Divide that by the denominator term p^3
                 % Implicit output

Python 3 com SciPy , 72 bytes

from scipy.special import*
lambda a,b,p:(binom(a*p,b*p)-binom(a,b))/p**3

Uma função anônima que recebe entrada por meio de argumento e retorna o resultado.

Não há muita coisa acontecendo aqui; Esta é uma implementação direta da computação desejada.

Experimente no Ideone (o resultado é retornado em notação exponencial para o último caso de teste)

Nim , 85 82 75 59 bytes

import math,future
(a,b,p)=>(binom(a*p,b*p)-binom(a,b))/p^3

Este é um procedimento anônimo; Para usá-lo, ele deve ser passado como argumento para outro procedimento, que o imprime. Um programa completo que pode ser usado para teste é fornecido abaixo

import math,future
proc test(x: (int, int, int) -> float) =
 echo x(3, 1, 13) # substitute in your input or read from STDIN
test((a,b,p)=>(binom(a*p,b*p)-binom(a,b))/p^3)

mathO binomproc do módulo de Nim calcula o coeficiente binomial de seus dois argumentos.

Python 2 , 67 bytes

def f(a,b,p):B=2<<a*p;R=(B+1)**a;print(R**p/B**(p*b)-R/B**b)%B/p**3

Experimente online!

Expressa os coeficientes binomiais aritmeticamente usando esse método .

JavaScript (ES6), 70 bytes

(a,b,p,c=(a,b)=>a==b|!b||c(--a,b)+c(a,--b))=>(c(a*p,b*p)-c(a,b))/p/p/p

Salve 1 byte usando o ES7 (em /p**3vez de /p/p/p).

APL (Dyalog) , 18 bytes

{(-/!/¨⍺1×⊂⍵)÷⍺*3}

Experimente online!

Pari / GP , 43 bytes

(a,b,p)->((c=binomial)(a*p,b*p)-c(a,b))/p^3

Experimente online!