fundo

A sequência de Fibonacci é definida como

f(1) = 1
f(2) = 1
f(n) = f(n-1) + f(n-2)

O Fibonorial, semelhante ao fatorial, é o produto dos primeiros n números de Fibonacci.

g(n) = f(1) * f(2) * ... * f(n-1) * f(n)

O coeficiente fibonomial, semelhante ao coeficiente binomial, é definido como

a(n, 0) = 1
a(n, k) = g(n) / ( g(n-k) * g(k) )
        = f(n) * f(n-1) * ... * f(n-k+1) / ( f(1) * f(2) * ... * f(k) )

Tarefa

Seu objetivo é criar uma função ou programa para calcular o coeficiente Fibonomial, dados dois números inteiros não negativos n e k com k ≤ n .

Casos de teste

a(0, 0) = 1
a(1, 1) = 1
a(2, 0) = 1
a(3, 2) = 2
a(8, 3) = 1092
a(11, 5) = 1514513
a(22, 7) = 7158243695757340957617
a(25, 3) = 49845401197200
a(50, 2) = 97905340104793732225
a(100, 1) = 354224848179261915075

Regras

• Isso é código-golfe, então o código mais curto vence.
• Builtins são permitidos.

Relacionado

• A000045 - Desafio - Sequência de Fibonacci
• A003266 - Desafio - Fibonorial
• A010048 - Coeficiente fibonomial

Gelatina , 16 bytes

0+⁸С1ḊP
;_/Ç€:/

Experimente online!

Créditos a Dennis pelo link auxiliar Fibonacci-orial.

;_/Ç€:/     Main chain,  argument: [n,r]
 _/         Find n-r
;           Attach it to original: [n,r,n-r]
   ǀ       Apply helper link to each element, yielding [g(n),g(r),g(n-r)]
     :/     Reduce by integer division, yielding g(n)//g(r)//g(n-r)

0+⁸С1ḊP    Helper link, argument: n
0+⁸С1ḊP    Somehow return the n-th Fibonacci-orial.

Haskell, 46 bytes

l=0:scanl(+)1l;a%0=1;a%b=(a-1)%(b-1)*l!!a/l!!b

As saídas flutuam. Gera a lista infinita de Fibonacci. Em seguida, realiza a recusão binomial, multiplicando e dividindo por elementos da lista de Fibonacci.

Python 67 bytes

f=lambda n,a=1,b=1:n<1or a*f(n-1,b,a+b)
lambda n,k:f(n)/f(k)/f(n-k)

Ligue usando a(n,k). Usa a resposta fibonorial @Dennis (isso é permitido?) E uma implementação direta da pergunta de outra forma.

Haskell, 77 57 55 52 50 bytes

A primeira linha é originária da função Fibonacci ou desafio de sequência e foi escrita por @Anon.

A segunda linha foi adicionada no desafio Fibonacci-orial por @ChristianSievers.

Agora eu adicionei a terceira linha. Quanto mais longe esses desafios serão? =)

f=1:scanl(+)1f
g=(scanl(*)1f!!)
n#k=g n/g(n-k)/g k

Obrigado por 5 bytes @xnor!

C, 206 bytes:

#include <inttypes.h>
uint64_t F(x){return x<1 ? 0:x==1 ? 1:F(x-1)+F(x-2);}uint64_t G(H,B){uint64_t P=1;for(B=3;B<=H;B++)P*=F(B);return P;}main(U,Y){scanf("%d %d",&U,&Y);printf("%llu\n",G(U)/(G(U-Y)*G(Y)));}

Na execução, solicita 2 números inteiros separados por espaço como entrada. O #includepré-processador é necessário , pois sem ele uint_64não é um tipo válido, e a única outra maneira de fazer esse trabalho para resultados razoavelmente grandes é usar unsigned long longtipos de retorno para as funções F(Fibonacci) e G(Fibonorial), que é muito mais longa do que apenas incluindo <inttypes.h>e usando três uint64_tdeclarações de tipo. No entanto, mesmo com isso, ele para de funcionar corretamente nos valores de entrada 14 1(confirmado usando isso , que lista os primeiros 1325valores na sequência do coeficiente fibonomial), provavelmente porque a representação de números de Fibonacci e / ou Fibnorial 15e acima do estouro de 64 bits tipo inteiro usado.

C It Online! (Ideona)

Queijo Cheddar , 75 64 bytes

a->b->(g->g((a-b+1)|>a)/g(1|>b))(n->n.map(Math.fib).reduce((*)))

Uso

cheddar> var f = a->b->(g->g((a-b+1)|>a)/g(1|>b))(n->n.map(Math.fib).reduce((*)))
cheddar> f(11)(5)
1514513

MATL , 25 23 bytes

1ti2-:"yy+]vtPi:)w5M)/p

Experimente online!

Explicação

1t      % Push 1 twice
i2-:    % Take input n. Generate vector [1 2 ... n-2]
"       % Repeat n-2 times
  yy    %   Push the top two elements again
  +     %   Add them
]       % End
v       % Concatenate into column vector of first n Fibonacci numbers
tP      % Duplicate and reverse
i:      % Take input k. Generate vector [1 2 ... k]
)       % Apply index to get last k Fibonacci numbers
w       % Swap to move vector of first n Fibonacci numbers to top
5M      % Push [1 2 ... k] again
)       % Apply index to get first k Fibonacci numbers
/       % Divide element-wise
p       % Product of vector. Implicitly display

R, 120 bytes

Provavelmente é possível um pouco mais de golfe, então é claro que os comentários são bem-vindos!
Eu usei minha resposta da pergunta Fibonacci-orial no início do código:

A=function(n,k){p=(1+sqrt(5))/2;f=function(N){x=1;for(n in 1:N){x=prod(x,(p^n-(-1/p)^n)/sqrt(5))};x};f(n)/(f(k)*f(n-k))}

Ungolfed:

A=function(n,k){
p=(1+sqrt(5))/2
    f=function(N){
        x=1
        for(n in 1:N){
           x=prod(x,(p^n-(-1/p)^n)/sqrt(5))
                     }
        x
        }

f(n)/(f(k)*f(n-k))
}

Java: 304 260 257

Salvei alguns bytes compactando um pouco a função de memorização e removendo-a f(n)completamente, substituindo-a pelo acesso direto à matriz.

BigInteger[]c;BigInteger a(int n,int k){m(n);return g(n).divide(g(n-k)).divide(g(k));}BigInteger g(int n){return n<3?BigInteger.ONE:g(n-1).multiply(c[n-1]);}void m(int n){c=new BigInteger[n];for(int i=0;i<n;++i)c[i]=(i<2)?BigInteger.ONE:c[i-2].add(c[i-1]);}

Infelizmente, BigIntegeré necessário devido a estouros e tive que adicionar memorização. Mesmo em um i7 geração 6, foi tomando forma demasiado longo para ser executado com grandes entradas.

Ungolfed, com clichê classe maincódigo:

import java.math.BigInteger;

public class ComputeTheFibonomialCoefficient {

  public static void main(final String[] args) {
    // @formatter:off
    String[][] testData = new String[][] {
      { "0", "0", "1" },
      { "1", "1", "1" },
      { "2", "0", "1" },
      { "3", "2", "2" },
      { "8", "3", "1092" },
      { "11", "5", "1514513" },
      { "22", "7", "7158243695757340957617" },
      { "25", "3", "49845401197200" },
      { "50", "2", "97905340104793732225" },
      { "100", "1", "354224848179261915075" }
    };
    // @formatter:on

    for (String[] data : testData) {
      System.out.println("a(" + data[0] + ", " + data[1] + ")");
      System.out.println("  Expected -> " + data[2]);
      System.out.print("    Actual -> ");
      System.out.println(new ComputeTheFibonomialCoefficient().a(
          Integer.parseInt(data[0]), Integer.parseInt(data[1])));
      System.out.println();
    }
  }

  // Begin golf

  BigInteger[] c;

  BigInteger a(int n, int k) {
    m(n);
    return g(n).divide(g(n - k)).divide(g(k));
  }

  BigInteger g(int n) {
    return n < 3 ? BigInteger.ONE : g(n - 1).multiply(c[n - 1]);
  }

  void m(int n) {
    c = new BigInteger[n];
    for (int i = 0; i < n; ++i)
      c[i] = (i < 2) ? BigInteger.ONE : c[i - 2].add(c[i - 1]);
  }
  // End golf
}

Saída do programa:

a(0, 0)
  Expected -> 1
    Actual -> 1

a(1, 1)
  Expected -> 1
    Actual -> 1

a(2, 0)
  Expected -> 1
    Actual -> 1

a(3, 2)
  Expected -> 2
    Actual -> 2

a(8, 3)
  Expected -> 1092
    Actual -> 1092

a(11, 5)
  Expected -> 1514513
    Actual -> 1514513

a(22, 7)
  Expected -> 7158243695757340957617
    Actual -> 7158243695757340957617

a(25, 3)
  Expected -> 49845401197200
    Actual -> 49845401197200

a(50, 2)
  Expected -> 97905340104793732225
    Actual -> 97905340104793732225

a(100, 1)
  Expected -> 354224848179261915075
    Actual -> 354224848179261915075

JavaScript (ES6), 70 bytes

a=n=>n<2?1:a(--n)+a(--n);b=n=>n?a(--n)*b(n):1;c=n=>k=>b(n)/b(n-k)/b(k)

Ligue usando c(n)(k), bem simples.

Ruby, 72 bytes

Agradecimentos especiais a @ st0le pelo realmente curto código de geração de Fibonacci .

->n,k{f=[a=b=1,1]+(1..n).map{b=a+a=b}
r=->i{f[i,k].inject:*}
k>0?r[n-k]/r[0]:1}

dc, 67 bytes

?skdsn[si1d[sadlarla+zli>b*]sbzli>b*]dsgxsplnlk-lgxsqlklgxlprlqr*/f

A entrada é tomada como constantes decimais delimitadas por espaço em uma única linha.

Isso usa minha resposta para a /Fibon(acci-)?orial/pergunta, que multiplica todos os números na pilha na última etapa, exigindo que os outros números sejam armazenados em outro lugar enquanto os outros Fibonorials são calculados.

?       # Take input from stdin
skdsn   # Store second number in register `k'; store a copy of first number in register `n'
[si1d[sadlarla+zli>b*]sbzli>b*] # Compute Fibonorial of top-of-stack, multiplying
                                #   until stack depth is 1
dsgx    # Store a copy of this function as g and execute it: g(n)
sp      # Store g(n) in register `p'
lnlk-   # Compute n-k
lgx     # Compute g(n-k)
sq      # Store g(n-k) in register `q'
lk lgx  # Compute g(k)
        # Top ---Down--->
lp      #  g(n)    g(k)
r       #  g(k)    g(n)
lq      #  g(n-k)  g(k)    g(n)
r       #  g(k)    g(n-k)  g(n)
*       # (g(k)g(n-k))     g(n)
/       #  g(n)/(g(k)g(n-k))
f       # Dump stack to stdout

Julia, 53 bytes

!x=[([1 1;1 0]^n)[2]for n=1:x]|>prod;n\k=!n/!(n-k)/!k

Créditos a @Lynn por sua resposta Fibonorial .

Axioma 108 bytes

b(n,k)==(n<=k or k<1=>1;reduce(*,[fibonacci(i) for i in (n-k+1)..n])/reduce(*,[fibonacci(i) for i in 1..k]))

algum teste

(34) -> b(0,0),b(1,1),b(2,0),b(3,2),b(8,3),b(11,5),b(22,7)
   Compiling function b with type (NonNegativeInteger,
      NonNegativeInteger) -> Fraction Integer
   Compiling function b with type (PositiveInteger,PositiveInteger) ->
      Fraction Integer
   Compiling function b with type (PositiveInteger,NonNegativeInteger)
       -> Fraction Integer

   (34)  [1,1,1,2,1092,1514513,7158243695757340957617]
                                                 Type: Tuple Fraction Integer
(35) -> b(25,3),b(50,2),b(100,1)

   (35)  [49845401197200,97905340104793732225,354224848179261915075]

Tipo: Fração de tupla inteira

Mathematica, 30 bytes

(f=Fibonorial)@#/f[#-#2]/f@#2&