Eu fiz minha própria sequência recentemente (chamada de sequência Piggyback), e funciona assim:

P(1), P(2)E P(3)= 1.

Para todos os P(n)lugares n>3, a sequência funciona assim:

P(n) = P(n-3) + P(n-2)/P(n-1)

Então, continuando a sequência:

P(4)= 1 + 1/1=2

P(5)= 1 + 1/2= 3/2 =1.5

P(6)= 1 + 2/(3/2)= 7/3 =2.33333...

P(7)= 2 + (3/2)/(7/3)= 37/14=2.6428571428...

P(8)= 3/2 + (7/3)/(37/14)= 529/222 =2.3828828828...

Sua tarefa é, quando dada n, calcular P(n)como um número de ponto flutuante ou uma fração (im) adequada.

Isso é código-golfe , então o código mais curto em bytes vence.

Se alguém puder encontrar o nome da sequência, edite a postagem de acordo.

Líderes atuais: MATL e Jelly (ambos com 15 bytes).

Python 2, 40 39 bytes.

f=lambda x:x<4or.0+f(x-3)+f(x-2)/f(x-1)

Dá em Truevez de 1, se isso não for permitido, podemos ter isso por 42 bytes:

f=lambda x:.0+(x<4or f(x-3)+f(x-2)/f(x-1))

A maneira como funciona é bem direta, o único truque é usar .0+para converter o resultado em um float.

Haskel, 32 bytes

(a#b)c=a:(b#c)(a+b/c)
((0#1)1!!)

Exemplo de uso: ((0#1)1!!) 7-> 2.642857142857143. Começo a sequência com 0, 1, 1para corrigir !!a indexação baseada em 0.

Edit: @xnor encontrou uma maneira de mudar do índice baseado em 0 para o baseado em 1, sem alterar a contagem de bytes.

Ruby, 34 bytes

Como Ruby usa a divisão inteira por padrão, verifica-se que é mais curto usar frações. Sugestões de golfe são bem-vindas.

f=->n{n<4?1r:f[n-3]+f[n-2]/f[n-1]}

Perl 6 ,  25  23 bytes

{(0,1,1,1,*+*/*...*)[$_]}

{(0,1,1,*+*/*...*)[$_]}

Explicação:

# bare block lambda with implicit parameter ｢$_｣
{
  (
    # initial set-up
    # the ｢0｣ is for P(0) which isn't defined
    0, 1, 1, 1,

    # Whatever lambda implementing the algorithm
    * + * / *
    # { $^a + $^b / $^c }

    # keep using the lambda to generate new values until
    ...

    # Whatever (Forever)
    *

   # get the value indexed by the argument
  )[ $_ ]
}

Isso retorna um Rat ( Rational ) para entradas que começam com 3 até o resultado começar a ter um denominador maior do que pode caber em um número inteiro de 64 bits; nesse ponto, ele começa a retornar Num s (ponto flutuante).
O último rato que ele retornará éP(11) == 8832072277617 / 2586200337022

Se você desejar retornar números Rational em vez de floats, poderá trocá-lo pelo seguinte, que retornará um FatRat .

{(0.FatRat,1,1,*+*/*...*)[$_]}

Teste:

#! /usr/bin/env perl6
use v6.c;
use Test;

my &piggyback = {(0,1,1,*+*/*...*)[$_]}
# */ # stupid highlighter no Perl will ever have C/C++ comments

my @test = (
  1, 1, 1, 2,
  3/2, 7/3, 37/14,
  529 / 222,
  38242 / 11109,
  66065507 / 19809356,
  8832072277617 / 2586200337022,
);

plan +@test;

for 1..* Z @test -> ($input,$expected) {
  cmp-ok piggyback($input), &[==], $expected, $expected.perl;
}

C, 46 bytes

float P(n){return n<4?1:P(n-3)+P(n-2)/P(n-1);}

Ideone

MATL , 15 bytes

llli3-:"3$t/+]&

Experimente online!

Explicação

lll       % Push 1, 1, 1
i         % Take input n
3-:       % Pop n and push range [1 2 ... n-3] (empty if n<4)
"         % For each
  3$t     %    Duplicate the top three numbers in the stack
  /       %    Pop the top two numbers and push their division
  +       %    Pop the top two numbers and push their addition
]         % End
&         % Specify that the next function, which is implicit display, will take
          % only one input. So the top of the stack is displayed

Cheddar , 31 bytes

n P->n<4?1:P(n-3)+P(n-2)/P(n-1)

A versão ungolfed é tão clara que você não precisa de explicação:

n P->
  n < 4 ? 1 : P(n-3) + P(n-2) / P(n-1)

basicamente após os argumentos da função, você pode especificar a variável a ser usada, que será definida para a própria função. Por quê? porque essa função será otimizada pela chamada final, ou pelo menos deveria ser.

Javascript (ES6), 31 bytes

P=n=>n<4?1:P(n-3)+P(n-2)/P(n-1)

Uma função simples.

P=n=>n<4?1:P(n-3)+P(n-2)/P(n-1)

var out = '';

for (var i=1;i <= 20;i++) {
out +='<strong>'+i+':</strong> '+P(i)+'<br/>';
}

document.getElementById('text').innerHTML = out;

div {
font-family: Arial
}

<div id="text"></div>

05AB1E , 18 17 bytes

3Ld                # push list [1,1,1]
   ¹ÍG         }   # input-3 times do
      D3£          # duplicate list and take first 3 elements of the copy
         R`        # reverse and flatten
           /+      # divide then add
             ¸ì    # wrap in list and prepend to full list
                ¬  # get first element and implicitly print

Experimente online!

Guardado 1 byte graças a Luis Mendo

Pitão, 20 bytes

L?<b4h0+y-b3cy-b2ytb

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Gelatina , 15 bytes

ạ2,1,3߀÷2/SµḊ¡

Experimente online! ou verifique todos os casos de teste .

Como funciona

ạ2,1,3߀÷2/SµḊ¡  Main link. Argument: n (integer)

             Ḋ   Dequeue; yield [2, ..., n].
            µ ¡  If the range is non-empty (i.e., if n > 1), execute the chain to
                 the left. If n is 0 or 1, return n.
                 Note that P(3) = P(0) + P(2)/P(1) if we define P(0) := 0.
ạ2,1,3           Take the absolute difference of n and 2, 1, and 3.
                 This gives [0, 1, 1] if n = 2, and P(0) + P(1)/P(1) = 0 + 1/1 = 1.
      ߀         Recursively apply the main each to each difference.
        ÷2/      Perform pairwise division.
                 This maps [P(n-2), P(n-1), P(n-3)] to [P(n-2)/P(n-1), P(n-3)].
           S     Sum, yielding P(n-2)/P(n-1) + P(n-3).

R, 53 47 bytes

f=function(N)ifelse(N>3,f(N-3)+f(N-2)/f(N-1),1)

Esta resposta fez uso da função bastante interessante ifelse:ifelse(Condition, WhatToDoIfTrue, WhatToDoIfNot)

Mathematica, 36 bytes

P@n_:=If[n<4,1,P[n-3]+P[n-2]/P[n-1]]

Aqui estão os primeiros termos:

P /@ Range[10]
{1, 1, 1, 2, 3/2, 7/3, 37/14, 529/222, 38242/11109, 66065507/19809356}

Dyalog APL, 25 bytes

⊃{1↓⍵,⍎⍕' +÷',¨⍵}⍣⎕⊢0 1 1