Dado um número inteiro positivo n , calcule o valor da função Mertens M ( n ) em que

e μ ( k ) é a função de Möbius em que μ ( k ) = 1 se k tiver um número par de fatores primos distintos, -1 se k tiver um número ímpar de fatores primos distintos e 0 se os fatores primos não forem distintos.

• Como código é golfe , crie o código mais curto para uma função ou programa que calcule a função Mertens para um número inteiro de entrada n > 0.
• Esta é a sequência OEIS A002321 .

Casos de teste

n M(n)
1 1
2 0
3 -1
4 -1
5 -2
6 -1
7 -2
8 -2
9 -2
10 -1
117 -5
5525 5
7044 -25
8888 4
10000 -23

Gelatina , 6 bytes

:Ḋ߀SC

Experimente online! ou verifique os casos de teste menores . (leva um tempo)

fundo

Isso usa a propriedade

do A002321 , que leva à seguinte fórmula recursiva.

Como funciona

:Ḋ߀SC  Main link. Argument: n

 Ḋ      Dequeue; yield [2, ..., n].
:       Perform the integer division of n by each k in [2, ..., n].
  ߀    Recursively call the main link on each result.
    S   Sum; add the results from the recursive calls.
     C  Complement; map the sum r to 1 - r.

Mathematica, 22 20 bytes

Obrigado a @miles por salvar 2 bytes.

Tr@*MoebiusMu@*Range

Explicação

Range

Gere uma lista de 1 para entrada.

MoebiusMu

Localização MoebiusMude cada número

Tr

Soma o resultado.

Python 2, 45 37 bytes

f=lambda n,k=2:n<k or f(n,k+1)-f(n/k)

Teste em Ideone .

fundo

Isso usa a propriedade

do A002321 , que leva à seguinte fórmula recursiva.

Como funciona

Usamos a recursão não apenas para calcular M para os quocientes, mas também para calcular a soma dessas imagens. Isso economiza 8 bytes na implementação simples a seguir.

M=lambda n:1-sum(M(n/k)for k in range(2,n+1))

Quando f é chamado com um único argumento n , o argumento opcional k assume como padrão 2 .

Se n = 1 , n<kproduz True e f retorna esse valor. Este é o nosso caso base.

Se n> 1 , n<kretorna inicialmente False e o código a seguir oré executado. f(n/k)recursivamente calcula um termo da soma, que é subtraído do valor de retorno de f(n,k+1). O último incrementa k e recursivamente chama f , iterando sobre os possíveis valores de k . Uma vez que n <k + 1 ou n = 1 , f(n,k+1)retornará 1 , encerrando a recursão.

05AB1E , 16 15 bytes

LÒvX(ygmyyÙïQ*O

Explicação

L        # range [1 .. n]
Ò        # list of prime factors for each in list
v        # for each prime factor list
 X(ygm   # (-1)^len(factors)
 yyÙïQ*  # multiplied by factors == (unique factors)
 O       # sum

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Braquilog , 22 20 bytes

yb:1a+
$p#dl:_1r^|,0

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Explicação

yb                 The list [1, 2, …, Input]
  :1a              Apply predicate 1 (second line) to each element
     +             Sum the resulting list


    $p#d               All elements of the list of prime factors of the Input are distinct
        l:_1r^         Output = (-1)^(<length of the list of prime factors>)
|                  Or
    ,0                 Output = 0

Geléia , 9 bytes

RÆFỊNP€FS

Experimente online! ou verifique todos os casos de teste .

Como funciona

RÆFỊNP€FS  Main link. Argument: n

R          Range; yield [1, ..., n].
 ÆF        Factor; decompose each integer in that range into prime-exponent pairs.
   Ị       Insignificant; yield 1 for argument 1, 0 for all others.
    N      Negative; map n to -n.
           This maps primes to 0, exponent 1 to -1, and all other exponents to 0.
     P€    Reduce the columns of the resulting 2D arrays by multiplication.
           The product of the prime values will always be 0; the product of the
           exponent values is 0 if any exponent is greater than, 1 if there is an
           even number of them, -1 is there is an odd number of them.
       FS  Flatten and sum, computing the sum of µ(k) for k in [1, ..., n].

Haskell, 29 27 bytes

f n=1-sum(f.div n<$>[2..n])

Geléia , 7 bytes

Ị*%ðþÆḊ

Não é muito eficiente; determinantes são difíceis.

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fundo

Isso usa uma fórmula de A002321 :

M (n) é o determinante da matriz booleana A _{n × n} , onde a _{i, j} é 1 se j = 1 ou i | j e 0 caso contrário.

Como funciona

Ị*%ðþÆḊ  Main link. Argument: n

   ð     Combine the preceding atoms into a chain (unknown arity).
         Begin a new, dyadic chain with arguments a and b.
Ị        Insignificant; return 1 iff a = 1.
  %      Compute a % b.
 *       Compute (a == 1) ** (a % b).
         This yields 1 if a = 1, or if a ≠ 1 and a % b = 0; otherwise, it yields 0.
    þ    Table; construct the matrix A by calling the defined chain for every pair
         of integers in [1, ..., n].
     ÆḊ  Compute the determinant of the resulting matrix.

PHP, 113 bytes

for(;$i=$argv[1]--;){for($n=$j=1;$j++<$i;)if(!($i%$j)){$i/=$j;$n++;if(!($i%$j))continue 2;}$a+=$n%2?1:-1;}echo$a;

Até onde eu sei, o php carece de algo como a funcionalidade de números primos, então isso é meio difícil. Provavelmente é possível fazer melhor.

use como:

 php -r "for(;$i=$argv[1]--;){for($n=$j=1;$j++<$i;)if(!($i%$j)){$i/=$j;$n++;if(!($i%$j))continue 2;}$a+=$n%2?1:-1;}echo$a;" 10000

Raquete 103 bytes

(λ(N)(for/sum((n(range 1 N)))(define c(length(factorize n)))(cond[(= 0 c)0][(even? c)1][(odd? c)-1])))

Ungolfed:

(define f
  (λ(N)
    (for/sum ((n (range 1 N)))
      (define c (length (factorize n)))
      (cond
        [(= 0 c) 0]
        [(even? c) 1]
        [(odd? c) -1]))))

CJam (20 bytes)

qiM{_,:)(@@f/{j-}/}j

Demonstração online

Usa a fórmula do OEIS

sum(k = 1..n, a([n/k])) = 1. - David W. Wilson, 27 de fevereiro de 2012

e o operador de memorização de CJam j.

Dissecação

qi       e# Read stdin as an integer
M{       e# Memoise with no base cases
         e#   Memoised function: stack contains n
  _,:)(  e#   Basic manipulations to give n [2 .. n] 1
  @@f/   e#   More basic manipulations to give 1 [n/2 ... n/n]
  {j-}/  e#   For each element of the array, make a memoised recursive call and subtract
}j

JavaScript (ES6), 50 bytes

n=>[1,...Array(n-1)].reduce((r,_,i)=>r-f(n/++i|0))

Porto da resposta em Python do @ Dennis.

Julia, 26 25 bytes

!n=1-sum(map(!,n÷(2:n)))

Experimente online!

fundo

Isso usa a propriedade

do A002321 , que leva à seguinte fórmula recursiva.

Como funciona

Redefinimos o operador unário ! para nossos propósitos.

n÷(2:n)calcula todos os quocientes necessários, nosso redefinido ! é mapeado sobre eles e, finalmente, a soma de todas as chamadas recursivas é subtraída de 1 .

Infelizmente,

!n=1-sum(!,n÷(2:n))

não funciona, pois a soma diádica será bloqueada em uma coleção vazia.

!n=n<2||1-sum(!,n÷(2:n))

corrige isso, mas não salva bytes e retorna True para a entrada 1 .

C, 51 50 47 bytes

f(n,t,u){for(t=u=1;n/++u;t-=f(n/u));return t;}

Edit: Obrigado a @Dennis por -3 bytes!

Scala, 53 bytes

def?(n:Int,k:Int=2):Int=if(n<k)1 else?(n,k+1)- ?(n/k)

Um porto da resposta piton de Dennis.

Eu chamei o método ?, que é um token que não se apega às letras.

Pitão, 12 bytes

Define uma função yque recebe o n.

L-1syM/LbtSb

Conjunto de teste aqui. (Observe que o final yaqui é realmente chamar a função declarada.)

Na verdade, 18 17 16 bytes

Sugestões de golfe são bem-vindas. Experimente online!

R`;y;l0~ⁿ)π=*`MΣ

Ungolfing

         Implicit input n.
R        Push the range [1..n].
`...`M   Map the following function over the range. Variable k.
  ;        Duplicate k.
  y        Push the distinct prime factors of k. Call it dpf.
  ;        Duplicate dpf.
  l        Push len(dpf).
  0~       Push -1.
  ⁿ        Push (-1)**len(dpf).
  )        Move (-1)**len(dpf) to BOS. Stack: dpf, k, (-1)**len(dpf)
  π        Push product(dpf).
  =        Check if this product is equal to k.
            If so, then k is squarefree.
  *        Multiply (k is squarefree) * (-1)**(length).
            If k is NOT squarefree, then 0.
            Else if length is odd, then -1.
            Else if length is even, then 1.
           This function is equivalent to the Möbius function.
Σ        Sum the results of the map.
         Implicit return.

PARI / GP, 24 bytes

n->sum(x=1,n,moebius(x))

J, 19 bytes

1#.1*/@:-@~:@q:@+i.

Calcula a função Mertens nusando a soma da função Möbius no intervalo [1, n].

Uso

   f =: 1#.1*/@:-@~:@q:@+i.
   (,.f"0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 117 5525 7044 8888 10000
    1   1
    2   0
    3  _1
    4  _1
    5  _2
    6  _1
    7  _2
    8  _2
    9  _2
   10  _1
  117  _5
 5525   5
 7044 _25
 8888   4
10000 _23

Explicação

1#.1*/@:-@~:@q:@+i.  Input: integer n
                 i.  Range [0, 1, ..., n-1]
   1            +    Add 1 to each
             q:@     Get the prime factors of each
          ~:@        Sieve mask of each, 1s at the first occurrence
                     of a value and 0 elsewhere
        -@           Negate
    */@:             Reduce each using multiplication to get the product
1#.                  Convert that to decimal from a list of base-1 digits
                     Equivalent to getting the sum