Introdução à Matemática Numérica
Este é o "Olá, mundo!" de PDEs (Equações Diferenciais Parciais). A equação de Laplace ou difusão aparece frequentemente em física, por exemplo, equação de calor, deformação, dinâmica de fluidos, etc ... Como a vida real é 3D, mas queremos dizer "Olá, mundo!" e não cantar "99 garrafas de cerveja, ...", esta tarefa é dada em 1D. Você pode interpretar isso como uma túnica de borracha amarrada a uma parede nas duas extremidades com alguma força aplicada a ela.
Em um [0,1]domínio, encontre uma função upara determinada função de origem fe valores de limite u_Le de u_Rforma que:
-u'' = fu(0) = u_Lu(1) = u_R
u'' denota a segunda derivada de u
Isso pode ser resolvido puramente teórico, mas sua tarefa é resolvê-lo numericamente em um domínio discretizado x para obter Npontos:
- x =
{i/(N-1) | i=0..N-1}ou com base em 1:{(i-1)/(N-1) | i=1..N} h = 1/(N-1)é o espaçamento
Entrada
fcomo função ou expressão ou stringu_L,u_Rcomo valores de ponto flutuanteNcomo inteiro> = 2
Resultado
- Array, List, algum tipo de string separada de
utal modo queu_i == u(x_i)
Exemplos
Exemplo 1
Entrada: f = -2, u_L = u_R = 0, N = 10(não pegue f=-2errado, não é um valor, mas uma função constante que os retornos -2para todo xÉ como uma força de gravidade constante em nosso corda..)
Resultado: [-0.0, -0.09876543209876543, -0.1728395061728395, -0.22222222222222224, -0.24691358024691357, -0.24691358024691357, -0.22222222222222224, -0.1728395061728395, -0.09876543209876547, -0.0]
Existe uma solução exata e fácil: u = -x*(1-x)
Exemplo 2
Entrada: f = 10*x, u_L = 0 u_R = 1, N = 15(Aqui há um monte de contra o vento no lado direito)
Resultado: [ 0., 0.1898688, 0.37609329, 0.55502915, 0.72303207, 0.87645773, 1.01166181, 1.125, 1.21282799, 1.27150146, 1.29737609, 1.28680758, 1.2361516, 1.14176385, 1.]
A solução exata para esses estados: u = 1/3*(8*x-5*x^3)
Exemplo 3
Entrada: f = sin(2*pi*x), u_L = u_R = 1, N = 20(Alguém quebrou gravidade ou há uma espécie de cima e na direção do vento)
Resultado: [ 1., 1.0083001, 1.01570075, 1.02139999, 1.0247802, 1.0254751, 1.02340937, 1.01880687, 1.01216636, 1.00420743, 0.99579257, 0.98783364, 0.98119313, 0.97659063, 0.9745249, 0.9752198, 0.97860001, 0.98429925, 0.9916999, 1.]
Aqui a solução exata é u = (sin(2*π*x))/(4*π^2)+1
Exemplo 4
Entrada: f = exp(x^2), u_L = u_R = 0,N=30
Resultado:
[ 0. 0.02021032 0.03923016 0.05705528 0.07367854 0.0890899
0.10327633 0.11622169 0.12790665 0.13830853 0.14740113 0.15515453
0.16153488 0.1665041 0.17001962 0.172034 0.17249459 0.17134303
0.16851482 0.1639387 0.15753606 0.1492202 0.13889553 0.12645668
0.11178744 0.09475961 0.07523169 0.05304738 0.02803389 0. ]
Observe a leve simetria
FDM
Um método possível para resolver isso é o método das diferenças finitas :
- reescrever
-u_i'' = f_icomo (-u_{i-1} + 2u_i - u{i+1})/h² = f_ique é igual-u_{i-1} + 2u_i - u{i+1} = h²f_i- Configure as equações:
- Que são iguais a uma equação de vetor de matriz:
- Resolva esta equação e produza o
u_i
Uma implementação disso para demonstração em Python:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def laplace(f, uL, uR, N):
h = 1./(N-1)
x = [i*h for i in range(N)]
A = np.zeros((N,N))
b = np.zeros((N,))
A[0,0] = 1
b[0] = uL
for i in range(1,N-1):
A[i,i-1] = -1
A[i,i] = 2
A[i,i+1] = -1
b[i] = h**2*f(x[i])
A[N-1,N-1] = 1
b[N-1] = uR
u = np.linalg.solve(A,b)
plt.plot(x,u,'*-')
plt.show()
return u
print laplace(lambda x:-2, 0, 0, 10)
print laplace(lambda x:10*x, 0, 1, 15)
print laplace(lambda x:np.sin(2*np.pi*x), 1, 1, 20)
Implementação alternativa sem Álgebra Matricial (usando o método Jacobi )
def laplace(f, uL, uR, N):
h=1./(N-1)
b=[f(i*h)*h*h for i in range(N)]
b[0],b[-1]=uL,uR
u = [0]*N
def residual():
return np.sqrt(sum(r*r for r in[b[i] + u[i-1] - 2*u[i] + u[i+1] for i in range(1,N-1)]))
def jacobi():
return [uL] + [0.5*(b[i] + u[i-1] + u[i+1]) for i in range(1,N-1)] + [uR]
while residual() > 1e-6:
u = jacobi()
return u
No entanto, você pode usar qualquer outro método para resolver a equação de Laplace. Se você usar um método iterativo, iterará até o residual |b-Au|<1e-6, bsendo o vetor do lado direitou_L,f_1h²,f_2h²,...
Notas
Dependendo do seu método de solução, você pode não resolver os exemplos exatamente para as soluções fornecidas. Pelo menos para N->infinityo erro deve se aproximar de zero.
As brechas padrão são proibidas , os internos para PDEs são permitidos.
Bônus
Um bônus de -30% para exibir a solução, gráfica ou ASCII-art.
Ganhando
Isso é codegolf, então o código mais curto em bytes vence!
log(log(x))ou sqrt(1-x^4)que possuem uma integral, que, no entanto, não é expressável em funções elementares.
u(x) = 1/2 (-sqrt(π) x erfi(x)+sqrt(π) erfi(1) x+e^(x^2)-e x+x-1)não é exatamente calculável.
f(x) = exp(x^2).