Mostrando que um problema no X não é X-Complete

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A teoria existencial dos reais está no PSPACE , mas não sei se é completo no PSPACE . Se eu acredito que não é o caso, como eu poderia provar isso?

De modo mais geral, dado um problema de alguma complexidade classe X , como posso mostrar que é não -X completo ? Por exemplo, X pode ser NP , PSPACE , EXPTIME .

complexity-theory proof-techniques

— Dave Clarke
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Claro que não é fácil e ninguém pode fornecer uma resposta para sua parte geral :-) Tenho muitos problemas, sei que eles são NP, mas não sei se eles são NP-completos ou não (nem muitas outras pessoas).

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Realmente provar que não é (completo, digamos, reduções no tempo polinomial) seria extremamente difícil de fazer. $X$ $PSPACE$

Se , todos os problemas não triviais (isto é, não e não ) e infinitos em são completos em reduções de tempo polinomiais. Como a teoria existencial dos reais possui essa propriedade não trivial e infinita, provar que não é completo implicaria $P=PSPACE$ $\varnothing$ $\Sigma^{\star}$ $PSPACE$ $PSPACE$ $PSPACE$ . (Vejaa resposta a esta pergunta no CSTheory.SEpara um esboço da prova.) $P \neq PSPACE$

— Ryan Williams
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Certamente parece que eu mordi mais do que posso mastigar, por assim dizer.

— 18712 Dave

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Um problema no não é completo se houver outros problemas no que não possam ser reduzidos a ele. Um método simples (mas possivelmente apenas eficaz em exemplos triviais) seria provando o seu problema é também de alguma outra classe de complexidade tal que . $X$ $X$ $X$ $Y$ $Y \subset X$

Por exemplo, se você quer mostrar que o seu problema não é completa, então é suficiente para mostrar que ele está em , desde . No entanto, se você queria mostrar que um problema não é -completo, então não é necessariamente suficiente para mostrar que ele está em , uma vez que não se sabe se ou não . $EXPTIME$ $P$ $P \subsetneq EXPTIME$ $NP$ $P$ $P = NP$

— Joe
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Veja a resposta aceita para esta pergunta no MathOverflow: Quais técnicas existem para mostrar que um problema não está completo no NP? . Responde ao caso quando X = NP.

— Mohammad Al-Turkistany
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Como Ryan escreveu, provar que um problema não é difícil não é fácil.

Seja um problema em uma classe de complexidade e é fechado com reduções . Provar que não é -hard wrt é equivalente a separar a classe de complexidade obtida ao encerrar wrt . Agora, se é difícil para uma outra classe wrt , então isso significa que separa de . Como você sabe, não há muitos resultados de separação. $Q$ $X$ $S$ $\leq$ $Q$ $X$ $\leq$ $Q$ $\leq$ $Q$ $Y$ $\leq$ $Y$ $X$

No seu caso, , , e . $X = \mathsf{PSpace}$ $\leq = \leq^\mathsf{P}_m$ $Y=\mathsf{P}$

Como não podemos provar esses resultados no momento (com a possível exceção de Ryan :), em vez de provar que não é -hard, mostramos que ele está em uma classe de complexidade que se acredita ser menor que . Por exemplo, se você mostrar que está em , será considerado uma forte evidência de não ser $Q$ $X$ $X$ $\mathrm{Th}_\exists(\mathbb{R,+,\times,0,1})$ $\mathsf{PH}$ $Q$ $X$ -Difícil. (Na linguagem dos lógicos, se você não puder provar um resultado incondicional, tente provar um condicional assumindo uma afirmação difícil de provar, mas amplamente aceita como ). $\mathsf{P}\neq\mathsf{PSpace}$

— Kaveh
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