Duas árvores de um gráfico simples sempre têm algumas arestas em comum?

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Tentei alguns casos e descobri que duas árvores abrangidas de um gráfico simples têm algumas arestas comuns. Quero dizer, não consegui encontrar nenhum exemplo contrário até agora. Mas também não pude provar ou refutar isso. Como provar ou refutar essa conjectura?

graphs graph-theory spanning-trees

— Sr. Sigma.
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Não, considere o gráfico completo : $K_4$

Possui as seguintes árvores de abrangência distintas: insira a descrição da imagem aqui

— Bjørn Kjos-Hanssen
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Você pode fazer com que cada uma das árvores seja plana, levando uma a ter a forma de e a outra a forma deVocê pode tornar a coisa toda plana, desenhando a aresta do vértice superior direito ao vértice inferior esquerdo como uma curva saindo do quadrado.

N

$N$

Z

$Z$

— Acumulação

@kelalaka Não precisamos de um gráfico completo, não (imagine fazer o mesmo tipo de coisa no - a menos que eu tenha perdido o palpite, você tem algumas arestas não utilizadas que podem ser removidas, deixando-a mais completa (porque cada vértice precisa de 2 a 4 arestas atravessadas conectadas a ele e cada vértice em tem 5 arestas disponíveis; portanto, cada vértice é anexado a pelo menos uma aresta não utilizada)). é provavelmente apenas o melhor exemplo - é bem conhecido, fácil de visualizar (comparativamente com poucas arestas) e possui árvores de abrangência muito simples.

K_{5}

$K_5$

K_{5}

$K_5$

K_{4}

$K_4$

— Fund Monica's Lawsuit

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Para os leitores mais interessados, há algumas pesquisas sobre a decomposição de gráfico em árvores de abrangência distintas .

Por exemplo, os artigos clássicos Sobre o Problema de Decompor um Gráfico em Fatores Conectados $n$ por WT Tutte e árvores disjuntas de arestas de gráficos finitos de C. St.JA Nash-Williams fornece uma caracterização de gráficos que contêm arestas disjuntas aos pares abrangendo árvores. $k$

Por exemplo, as decomposições bicíclicas em papel de gráficos completos em árvores abrangidas por Dalibor Froncek mostram como decompor gráficos completos em árvores abrangidas isomórficas . $K_{4k+2}$ ${2k+1}$

Por exemplo, o artigo Fatorações de gráficos completos em árvores de abrangência com todos os graus máximos possíveis de Petr Kovář e Michael Kubesa mostra como fatorar em árvores de abrangência com um determinado grau máximo. $K_{2n}$

Você pode procurar por mais. Por exemplo, uma pesquisa no Google por decomposição de gráfico em árvores de abrangência .

— Apass.Jack
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EDIT: Isso está incorreto, como apontado nos comentários. Como a outra resposta diz, uma árvore geradora de $K_4$ pode ser feito sem partilha bordas.

Não, não é verdade que duas árvores abrangidas de um gráfico tenham arestas em comum.

Considere o gráfico da roda:

Você pode fazer uma árvore de abrangência com arestas "dentro" do loop e outra a partir do loop externo.

— Gokul
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mas o loop externo não atinge o nó central

— amI

Você está certo, excluirei esta resposta conforme a outra for suficiente.

— Gokul

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Você pode modificar isso fazendo o loop out menos alguns "acordes" mais alguns "raios" e seu complemento.

— precisa saber é o seguinte

Sim. Na verdade, eu só via dessa maneira. @boboquack

— Sr. Sigma.

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$K_n$ $n\geq4$

$2$

$K_n$ $n\geq4$ $n\geq4$ $2$

$2$

$2$ $2$
Existe algum gráfico que não seja roda ou roda como seu subgrafo tendo árvores de abas com arestas desconexas?

— Sr. Sigma.
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Essas e outras perguntas foram respondidas nos documentos que citei. Se você estiver interessado, pode dar uma olhada.

— Apass.Jack

Obrigado @ Apass.Jack Eu vi sua resposta. Vai olhar para isso.

— Sr. Sigma.

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$K_{2k}$

G_{1} = {(v_{2 i}, v_{2 i + 1}), (v_{2 i}, v_{2 i + 2}), \dots, (v_{2 k - 2}, v_{2 k - 1})},

$G_1 = \{ (v_{2i},v_{2i+1} ),(v_{2i},v_{2i+2}),\dots,(v_{2k-2},v_{2k-1})\},$

G_{2} = {(v_{2 i + 1}, v_{2 i + 2}), (v_{2 i}, v_{2 i}), \dots (v_{2 (k - 1)}, v_{2 (k - 1)})}

$G_2 = \{ (v_{2i+1},v_{2i+2}),(v_{2i},v_{2i}),\dots(v_{2(k-1)},v_{2(k-1)})\}$

$0\leq i < k$

$n$ $n+1$

— Acumulação
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Se o gráfico tiver uma ponte (ou seja, uma aresta cuja remoção desconecta o gráfico), essa aresta deve pertencer a todas as árvores de abrangência. Intuitivamente, uma ponte é a única aresta conectando seus dois pontos finais e, portanto, necessariamente pertence a todos os subgráficos conectados.

Por outro lado, se uma aresta do gráfico pertencer a um ciclo, existe uma árvore de abrangência que não contém essa aresta.

Portanto, se todas as arestas de um gráfico pertencem a um ciclo, nenhuma aresta é comum a todas as árvores estendidas (ou seja, a interseção dos conjuntos de arestas das árvores estendidas é o conjunto vazio).

— mo2019
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