Algoritmo de Strassen para análise de complexidade de multiplicação de matrizes

Vejo em todos os lugares que a equação recursiva para a complexidade do alg de Strassen é:

$$T(n) = 7T(\tfrac{n}{2})+O(n^2).$$ Isso não está tão claro para mim. O parâmetro$n$ deve ser o tamanho da entrada, mas parece que aqui é uma dimensão de uma matriz enquanto o tamanho da entrada é realmente $n^2$. Além disso, cada matriz da entrada é dividida em 4 sub-matrizes, portanto parece que a equação recursiva deve ser $$T(n) = 7T(\tfrac{n}{4}) + O(n).$$

É verdade que o parâmetro $n$geralmente denota o tamanho da entrada, mas esse nem sempre é o caso. Para multiplicação de matriz quadrada,$n$indica o número de linhas (ou colunas). Para gráficos,$n$ denota frequentemente o número de vértices e $m$o número de arestas. Para algoritmos em funções booleanas,$n$ denota o número de entradas, embora a própria tabela verdade tenha tamanho $2^n$. Existem muitos outros exemplos.

Voltou ao tamanho da matriz. Suponha que a matriz original seja$n\times n$. Portanto, consideraremos$T(n)$ como um cálculo de duas matrizes com tamanho de $n\times n$. Quando dividimos a matriz original em 4 partes, o tamanho de cada parte é$\frac{n}{2}\times \frac{n}{2}$. Portanto, o custo computacional da multiplicação de duas matrizes com esse tamanho é$T(\frac{n}{2})$.

A complexidade do tempo geralmente é baseada no tamanho da entrada, mas não é um requisito absoluto. Nesse caso, para a multiplicação de matrizes nxn, parece mais natural contar o número de operações com base em n, e não no tamanho do problema nx n.