Como relacionar o tamanho do circuito com o tempo de execução da máquina de Turing

Em http://rjlipton.wordpress.com/2009/05/27/arithmetic-hierarchy-and-pnp/ ,

Defina, como a máquina de Turing determinística que opera da seguinte forma em uma entrada . A máquina trata como um programa determinístico e simula na entrada . Ao mesmo tempo, a máquina executa um contador que interrompe sua execução após as etapas . Se a máquina aceitar antes que o contador pare, aceita; caso contrário, ele rejeita.$M_{[x,c]}$$y$$x$$x$$y$$|y|^c$

Seja o menor número natural para que cometa um erro na entrada . Então, se for verdadeiro, a função será sempre definida.$f(i,c)$$M_{[i,c]}$$y$$P \neq NP$$f(i,c)$

Teorema: Suponha que exista um número infinito de para o qual exista um modo que Então, para infinitamente , SAT tem tamanho de circuito .$i$$c$

$$f(i,c) > 2^{2^{|i|+c}}$$ $n$$n^{O(\log n)}$

Prova: Vamos e ser de modo que Definir . Observe que é no máximo . Então, em todo de comprimento está correto, pois . O tamanho do circuito que simula essa máquina de Turing nas entradas de comprimento é polinomial em, o tempo de execução da máquina. A máquina, por definição, roda no tempo$i>1$$c$

$$f(i,c) > 2^{2^{|i|+c}}$$ $n = 2^{|i|+c-1}$$c$$\log n$$M_{[i,c]}$$y$$n$$y \leq 2^n = 2^{2^{|i|+c-1}} < f(i,c)$$n$$|i|$$n$$|y|^c \leq n^c \leq n^{\log n}$

Eu não estou recebendo esta parte. Alguém pode explicar isso (para especificar: “O tamanho do circuito que simula essa máquina de Turing nas entradas de comprimento é polinomial em , e o tempo de execução da máquina” na citação)? (Portanto, a questão é como podemos relacionar o tempo de funcionamento da máquina de Turing com o tamanho do circuito.)$n$$|i|$$n$

A maneira de mostrar que os circuitos são equivalentes às TMs é a seguinte: para uma TM, você a codifica em binário (ou seja, estados, transições etc.)

Em seguida, você constrói um circuito cujas portas representam as transições entre cada configuração da TM. Como as transições de configuração são locais, você precisa apenas de portas locais (ou seja, portas que dependem de um número constante de entradas).

A ideia é que você possa calcular a configuração $c_i$ da configuração $c_{i-1}$examinando o conteúdo de três células adjacentes e, se a cabeça da máquina estiver lá, atualize-as de acordo. É bastante técnico escrever formalmente, mas é uma prova geralmente simples (consulte "Complexidade computacional" de Arora e Barak para obter uma prova).

Usando esta prova, você vê que o tamanho do circuito é polinomial no tempo de funcionamento da máquina e no comprimento de entrada, porque o circuito é construído em "níveis", em que cada nível corresponde a uma configuração da TM.