Localizando o tamanho do menor subconjunto com GCD = 1


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Este é um problema da sessão de treinos do Concurso Polonês de Programação Colegial de 2012 . Embora eu tenha encontrado as soluções para o concurso principal, não consigo encontrar a solução para esse problema em nenhum lugar.

O problema é: dado um conjunto de números inteiros positivos distintos não maiores que , encontre o tamanho do subconjunto menor que não possui divisor comum além de 1. é no máximo 500 e é possível presumir que existe uma solução .10 9 m NN109mN

Consegui mostrar que meu número . Meu raciocínio é: Suponha que exista um subconjunto mínimo de tamanho , com gcd = 1. Então todos os 9 subconjuntos de devem ter gcd> 1. Existem exatamente 10 desses subconjuntos e seus gcds devem ser pareados coprime. Seja esses gcds , onde , para i \ neq j . Então o número máximo em S é g_2g_3 ... g_ {10} . Mas g_2g_3 ... g_ {10} \ ge 3 \ times5 \ times7 \ times11 \ times ... \ times29 = 3234846615> 10 ^ 9 , uma contradição.m9S|S|=10S1<g1<g2<...<g10gcd(gi,gj)=1ijSg2g3...g10g2g3...g103×5×7×11×...×29=3234846615>109

No entanto, mesmo com isso, uma força bruta direta ainda é muito lenta. Alguém tem outras idéias?


O que não pode g2=2 ?
precisa saber é

g2>g12 . g1 não pode ser 1, desde 9-subconjuntos não pode ter um GCD de 1.
Wakaka

Respostas:


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Esse problema é equivalente ao seguinte e é trivial construir redução nos dois sentidos.

Dada uma lista de vetores de bits, encontre o número mínimo deles para que andtodos resultem no vetor de bits. 0()

Em seguida, mostramos a cobertura do conjunto reduzida para . Por cobertura de conjunto, quero dizer, com uma lista dos conjuntos , encontre o número mínimo de conjuntos que cobre sua união.()S1,,Sk

Ordenamos que os elementos nos conjuntos sejam . Seja , onde se , 0 caso contrário. Note que esta função é uma bijeção e, portanto, tem uma inversa.a1,,anf(S)=(1χa1(S),,1χan(S))χx(S)=1xS

Agora, se resolvermos em e as soluções forem , então é a solução para se proteger.()f(S1),,f(Sk){f(Sb1),,f(Sbm)}{f1(Sb1),,f1(Sbm)}

Assim, eu pensaria que esse problema está testando a capacidade de podar o espaço de pesquisa.


Como você encontra a cobertura mínima de vértices?
Yuval Filmus 8/03/2013

oh, nvm esta solução, está definida como cobertura.
Chao Xu

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Isso é verdade, mas acho que talvez possamos explorar certas propriedades desse caso especial. Por exemplo, neste caso, os conjuntos são todos muito grandes, com tamanhos não inferiores a . De fato, se os números nos conjuntos forem todos pequenos, seus tamanhos serão ainda maiores. Além disso, podemos encontrar definitivamente 9 conjuntos que cobrem tudo. De qualquer forma, como você sugere que eu apare o espaço de pesquisa? n9
Wakaka 14/03

Não vejo como o problema (*) é equivalente ao dado na pergunta. Por um lado, o problema dado na pergunta tem a promessa de que todos os números inteiros serão , o que corresponde a uma garantia sobre os pesos dos vetores de bits que não aparecem no problema (*). 109
DW

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É possível resolver isso de forma relativamente eficiente, computando todos os MDCs em pares, removendo duplicatas e recorrendo novamente. É o ato de remover duplicatas antes de você recursar que a torna eficiente.

Vou explicar o algoritmo com mais detalhes abaixo, mas primeiro, ele ajuda a definir um operador binário . Se são conjuntos de números inteiros positivos, definaS,T

ST={gcd(s,t):sS,tT}.

Observe quee (no seu problema); normalmente, será ainda menor do que qualquer um desses limites sugere, o que ajuda a tornar o algoritmo eficiente. Observe também que podemos calcular comoperações gcd por enumeração simples.|ST||S|×|T||ST|109STST|S|×|T|

Com essa notação, aqui está o algoritmo. Seja o conjunto de números de entrada. Calcule , depois , depois e assim por diante. Encontre o menor tal que mas . Então você sabe que o tamanho do menor subconjunto é . Se você também deseja apresentar um exemplo concreto de um subconjunto, mantendo os ponteiros de retorno, é possível reconstruir facilmente esse conjunto.S1S2=S1S1S3=S1S2S4=S1S3k1Sk1Sk1k

Isso será relativamente eficiente, pois nenhum dos conjuntos intermediários aumenta em tamanho acima de (na verdade, seu tamanho provavelmente será muito menor que isso) e o tempo de execução requer cerca de operações gcd.109500×(|S1|+|S2|+)

Aqui está uma otimização que pode melhorar ainda mais a eficiência. Basicamente, você pode usar a duplicação iterada para encontrar o menor tal que . Em particular, para cada elemento , acompanhamos o menor subconjunto de cujo gcd é e cujo tamanho é . (Ao remover duplicatas, você resolve laços em favor do subconjunto menor.) Agora, em vez de calcular a sequência de nove conjuntos , calculamos a sequência de cinco conjuntos , calculando , depois , em seguida,k1SkxSiS1xiS1,S2,S3,S4,,S9S1,S2,S4,S8,S9S2=S1S1S4=S2S2S8=S4S4 , então . À medida que avança, encontre o primeiro modo que . Depois de encontrar como , é possível parar imediatamente: você pode encontrar o menor subconjunto cujo gcd é observando o subconjunto associado a . Portanto, você pode parar assim que atingir um conjunto tal que , o que permite que você pare mais cedo se encontrar um subconjunto menor.S9=S1×S8k[1,2,4,8,9]1Skk1Sk11Sk1Sk

Isso deve ser eficiente em termos de tempo e espaço. Para economizar espaço, para cada elemento , você não precisa armazenar o conjunto inteiro: basta armazenar dois ponteiros traseiros (os dois elementos de quais você tirou o MDC, para obter ) e opcionalmente, o tamanho do subconjunto correspondente.xSkSi,Sjx

Em princípio, você pode substituir a sequência por qualquer outra cadeia de adição . Não sei se alguma outra cadeia de adição será melhor. A escolha ideal pode depender da distribuição de respostas corretas e dos tamanhos esperados dos conjuntos , o que não está claro para mim, mas provavelmente pode ser derivado empiricamente através da experimentação.[1,2,4,8,9]Sk

Créditos: Meus agradecimentos ao KWillets pela idéia de armazenar um subconjunto de números junto com cada elemento de , o que permite parar mais cedo.Si


Eu acredito que a pesquisa binária não é necessária; você pode armazenar a contagem de elementos com cada gcd e configurá-la para a soma mínima de pares durante cada duplicação.
KWillets

Ótimo ponto, @KWillets! Obrigado por essa bela ideia! Eu o incorporei na minha resposta.
DW

0

Talvez seja mais rápido analisar isso de outra maneira ... o maior número primo menor que é 31607, para uma contagem total de 3401 números primos entre 2 e 31607, não um número muito grande. Escreva cada um dos números que você recebe totalmente fatorado nos números primos até 31607: Aqui é 1 ou um número primo grande. Então, um conjunto de 's é relativamente primo se os vetores correspondentes forem linearmente independentes (e seus forem diferentes ou ambos 1), e você estiver procurando a classificação de uma matriz.109

ai=p1ni1p2ni2Pi
PiainijP

Qual é a conexão com a independência linear? Os vetores e são linearmente independentes, mas o MDC é enquanto queremos . (1,1)(1,0)(1,0)(0,0)
Yuval Filmus

11
A independência linear não parece funcionar, mas podemos usar essa decomposição principal de uma maneira diferente. Para cada primo (entre 'e no máximo '), defina o conjunto como a coleção de todos os números (entre o conjunto fornecido) que não têm como fator. O problema agora é encontrar um menor subconjunto de números que, para cada , . Esse é o problema do conjunto de batidas, equivalente ao problema da tampa do conjunto. Este é um completo, mas pode haver algumas implementações rápidas o suficiente para esse tamanho. p3401 pi500 PiAppBAp|ApB|1NP
Polkjh 7/03

Você poderia me direcionar para algumas implementações que poderiam funcionar? Até agora, só consigo encontrar algoritmos de aproximação. Obrigado!
Wakaka 14/03

Este documento de pesquisa analisa as soluções aproximadas e exatas. E ao responder a um comentário, adicione @ nome da pessoa ao comentário. Enviará uma notificação para essa pessoa. Caso contrário, eles talvez nunca saibam sobre o seu comentário.
Polkjh

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Se você é capaz de encontrar um subconjunto com gcd (S) = 1, sempre posso remover elementos redundantes do subconjunto até restarem apenas 2 elementos, que possuem gcd (S) = 1. Portanto, posso afirmar que o menor subconjunto conterá 2 elementos ou ele não existirá.

Agora, usamos recursão para resolver esse problema. Vamos dividir a matriz de números em 2 partes, uma com n-1 elementos e outra com 1 elemento (último elemento). Os 2 números estarão nos primeiros elementos n-1 ou um elemento estará presente na 1ª parte emparelhado com o último elemento. Portanto, somos capazes de resolver esse problema em

T (n) = T (n-1) + O (n) tempo. o que significa T (n) = O (n ^ 2).


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gcd(6,10,15)=1 . Qual elemento você pode remover?
21415 Rick Decker
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