Número de ciclos hamiltonianos em um gráfico de Sierpiński

Eu sou novo neste fórum e apenas um físico que faz isso para manter seu cérebro em forma; portanto, mostre graça se eu não usar a linguagem mais elegante. Também deixe um comentário, se você acha que outras tags seriam mais apropriadas.

Eu estou tentando resolver este problema para que eu preciso para calcular o número de hamiltonianos ciclos do º fim Sierpinski-graph . (Consulte também o link acima para a definição e imagens dos gráficos de Sierpinski)n S $C(n)$$n$$S_n$

Encontrei , mas devo ter estragado alguma coisa, porque minha solução não corresponde ao valor . Minha argumentação consiste em pensamentos muito básicos, e não consigo encontrar o erro. Qualquer ajuda é muito apreciada. Mesmo que pareça longo, os pensamentos se tornam triviais se você olhar para os gráficos enquanto segue.C ( 5 ) = $C(n)$$C(5) = 71328803586048$

(a) Em um dado gráfico chamar os cantos exteriores . Então eu defino as seguintes quantidades: A , B , $S_n$$A,B,C$

$N(n) :=$ o número de caminhos de Hamilton de para .$A$$C$

$\bar{N}(n) :=$ o número de caminhos a partir de para que visitam a cada nó, excepto uma vez .C $A$$C$$B$

Também chamarei esses caminhos de caminhos - ou - a seguir.ˉ $N$$\bar{N}$

(b) É fácil ver que .$N(n)=\bar{N}(n)$

O motivo é o seguinte: Considere um caminho do tipoComeçando em esse caminho tem o formato . Substituindo o segmento por , obtemos um caminho do tipo . Esta operação mapeia exclusivamente todos os caminhos do tipo para caminhos do tipo .A ( A , . . . , X 1 , B , X 2 , . . . , C ) ( X 1 , B , X 2 ) ( X 1 , X 2 ) ˉ N N ˉ $N$$A$$(A,...,X_1,B,X_2,...,C)$$(X_1,B,X_2)$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$N$$\bar{N}$

(c) Derivamos a recursão .$N(n+1)=2N(n)^3$

Considere-se uma caminho do tipo de A para B e denotam os subtriangles nos cantos exteriores A , B , C por T A , T B , T C , respectivamente. É claro que o N caminho do tipo vai visitar cada subtriangle exatamente uma vez a partir de T Um longo T B para T C . Agora, considere o nó Z em que o subtriangles T A e T $N$$A$$B$$A,B,C$$T_A,T_B,T_C$$N$$T_A$$T_B$$T_C$$Z$$T_A$$T_C$toque. Há duas possibilidades, quando este ponto é visitado pelo caminho, seja (i) antes de sair ou (ii) depois de entrar . Nesses casos, os três subcaminhos dentro de são do tipo (i) ou (ii) , respectivamente. Com isso em mente, podemos contar$T_A$T A , T B , T $T_C$$T_A,T_B,T_C$ $N,N,\bar{N}$ $\bar{N},N,N$

$N(n+1)=N(n)N(n)\bar{N}(n)+\bar{N}(n)N(n)N(n)$ e com (b) chegamos à parte superior recursão.

(d) Resolvemos a recursão (c) com e obtemos .N ( n ) = 2 3 0 + 3 1 + . . . + 3 n - $N(1)=1$$N(n)=2^{3^0+3^1+...+3^{n-2}}$

(e) Considere um ciclo hamiltoniano no gráfico . Como cada um dos três sub-triângulos é conectado aos outros por apenas dois nós, fica claro que o ciclo entrará em cada sub-triângulo exatamente uma vez através de um nó de conexão, em seguida, "preenchê-lo" e finalmente deixá-lo através do outro nó de conexão. Portanto, o ciclo hamiltoniano em consiste em três subcaminhos do tipo nos sub-triângulos, todos com a estrutura de . Podemos concluir pelo número de ciclos hamiltonianosS n N S n - $S_n$$S_n$$N$$S_{n-1}$

$C(n) = N(n-1)^3$ .

No entanto, segue-se para$n=5$

$C(5) = N(4)^3 = 8192^3=549755813888 \neq 71328803586048$

onde o último deve ser obtido de acordo com a página do problema (link acima).

Obrigado novamente por qualquer ajuda ou comentários.

Boa ideia! O problema parece estar na etapa . Substituindo ( X 1 , B , X 2 ) num N -caminho por ( X 1 , X 2 ) dá uma ˉ N -caminho, mas não todos os ˉ N -caminho irá conter ( X 1 , X 2 ) . Portanto, isso não é uma joia. Isto só diz N ( n ) ≤ ˉ N ( n ) .$(b)$$(X_1,B,X_2)$$N$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$\bar{N}$$(X_1,X_2)$$N(n) \leq \bar{N}(n)$

$\bar{N}(n) = 3N(n)/2$$N(n+1) = 3N^3$