Existem funções em O (n) que não são nem em (n) todas em Θ (n)?

Uma das minhas palestras faz a seguinte declaração:

(f (n) = O (n) \land f (n) \neq o (n)) ⟹ f (n) = Θ (n)

$( f(n)=O(n) \land f(n)\neq o(n) )\implies f(n)=\Theta(n)$

Talvez esteja faltando algo nas definições, mas, por exemplo, a classificação das bolhas seja e não mas também não é pois é o melhor caso de execução . $O(n^2)$ $o(n^2)$ $\theta(n^2)$ $\Omega(n)$

O que estou perdendo aqui?

asymptotics landau-notation

— Robert S. Barnes
fonte

Respostas:

O que está faltando é um ponto muito importante: um algoritmo nunca é $O()$ de qualquer coisa, já que geralmente não é uma função com valor real.

Quando dizemos que o tipo de bolha é $O(n^2)$ , o que queremos dizer é que na função $f$ , que representa o pior caso de tempo de execução da classificação de bolhas, é $O(n^2)$ .

Nesse caso, essa função é realmente $\theta(n^2)$ , já que, na pior das hipóteses, o tempo de execução é limitado por baixo e por cima por $c\cdot n^2$ para as constantes relevantes $c$ .

Para ser mais preciso, a função que chamamos de pior caso de execução de um algoritmo $A$ é definido por

f_{A} (n) = max_{x : | x | = n} {runtime of A on input x}

$f_A(n)=\max_{x: |x|=n}\{\text{runtime of $A$ on input x}\}$ E é essa função que analisamos para o pior caso de tempo de execução.

O melhor caso de tempo de execução também pode ser analisado, é claro. Como você sugere, o melhor caso de tempo de execução da classificação de bolhas não é $\theta(n^2)$ , mas sim $\theta(n)$ .

— Shaull
fonte

Então, quando aplicamos essa notação, sempre a aplicamos no pior ou no melhor caso separadamente? Especificamente, nunca estamos falando de limitar o tempo de execução em geral , mas, em vez disso, geralmente estamos falando de limitar o pior caso de tempo de execução?

— Robert S. Barnes

Aplicamos essas notações a funções . Você pode aplicá-los a qualquer função que desejar, incluindo o melhor, o pior e o tempo médio de execução. Muitas vezes, estamos interessados no melhor tempo de execução e, depois, podemos analisá-lo. Se você deseja atribuir um limite ao tempo de execução "em geral", como você o define, seu limite superior é o pior caso de execução e o limite inferior é o melhor caso. Normalmente, nos cursos de graduação, você estará interessado no pior caso de tempo de execução (às vezes também na média).

— Shaull 7/03/13

Essa resposta seria boa se a afirmação em questão fosse verdadeira.

— Raphael

De fato. No entanto, é bastante claro que o que confundiu o OP não é o fato de ser verdade, mas o pior / o melhor caso de tempo de execução.

— Shaull 7/03/13

Diga ao professor que eles estão errados. Tome a função

f (n) = {\begin{cases} n & n is even, \\ 1 & n is odd . \end{cases}

$f(n) = \begin{cases} n & n \text{ is even}, \\ 1 & n \text { is odd}. \end{cases}$ Esta função é

O (n)

$O(n)$ mas nenhum

o (n)

$o(n)$ nem

Θ (n)

$\Theta(n)$ .

Aqui está um exemplo monótono, que pode ser mais convincente:

g (n) = \exp \exp ⌊ \ln \ln n ⌋ .

$g(n) = \exp \exp \lfloor \ln \ln n \rfloor.$

— Yuval Filmus
fonte

Cheguei a ver isso como a armadilha padrão dos assintóticos de Landau e gostaria que houvesse uma boa alternativa que produzisse as relações desejadas.

— Raphael

Funções logarítmico-exponenciais (funções construídas a partir de

\exp

$\exp$ ,

\log

$\log$ , operações de campo e constantes) são linearmente ordenadas em relação ao

f = o (g)

$f=o(g)$ ordem (consulte "Ordens do infinito" de Hardy), portanto, para essas funções, esses problemas não podem ocorrer. A função de piso não é, portanto, logarítmico-exponencial.

— Yuval Filmus 7/03/13