Existe um código binário com comprimento 6, tamanho 32 e distância 2?

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O problema é provar ou refutar a existência de $C$ , st, $|c| = 6,\forall c\in C$ ; $|C| = 32$ ; $d(c_i,c_j)\geq2,1\leq i<j\leq32$ . ( $d$ significa distância de hamming)

Eu tentei construir um código satisfatório. O melhor que posso obter é deixar $C = C'\times C'$ , uma concatenação de $C' = \{000,011,110,101\}$ , que é do tamanho 16. 32 passa a ser o limite superior teórico do tamanho, agora não sei o que fazer a seguir para resolver o problema.

information-theory coding-theory encoding-scheme

— Miangu
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Sim, existe esse conjunto. Você está realmente no caminho certo para encontrar o exemplo a seguir.

$C = \{c : |c|=6 \text{ and there are even number of 1's in c}\}$

$|C|=32$
$d(u,v)\geq2$ $u,v\in C$ $u\not=v$ $d(u,v)=2$

Aqui estão quatro exercícios relacionados, listados na ordem de dificuldade crescente. Como na pergunta, apenas o código binário está em causa.

Exercício 1. Dê outro exemplo de um conjunto de 32 palavras de comprimento 6 e distância pareada pelo menos 2.

Exercício 2. Mostre que existem apenas dois conjuntos, conforme indicado na resposta e no exercício 1.

$32=2^{6-1}$

$A(n,d)$ $n$ $d$ $A(d,2d)=A(n-1,2d-1)$

— John L.
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d (u, v)

$d(u,v)$

u = 000000

$u=000000$

v = 111111

$v=111111$

u \in C

$u\in C$

v \in C

$v\in C$

@siegi, obrigado. Atualizada.

— John L.

@Miangu é minha resposta útil? Você já pensou em aceitá-lo?

— John L.

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$2^{n-1}$ $2$

$A_2(n,d)$ $n$ $d$ $A_2(n,2d) = A_2(n-1,2d-1)$

— Yuval Filmus
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A (n, d)

$A(n,d)$

A_{2} (n, d)

$A_2(n,d)$

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F_{2}

$\mathbb{F}_2$