A importância de formas normais, como a forma normal de Chomsky, para CFGs

Entendo que gramáticas sem contexto podem ser usadas para representar linguagens sem contexto. Pode ter ambiguidades. Também temos formas normais, como a forma normal de Chomsky e Greibach . Eu não conseguia entender a necessidade disso.

Por que eles são importantes na teoria das línguas? Todos os livros que me referi relatam essas formas normais, mas não dizem nada sobre sua importância.

Existem pelo menos dois usos relevantes.

1. Simplicidade de provas
   Existem muitas provas em torno de gramáticas sem contexto, incluindo redutibilidade e equivalência para automatizar. Essas são as mais simples, mais restrito é o conjunto de gramáticas com as quais você precisa lidar. Portanto, formas normais podem ser úteis lá.

   Como um exemplo concreto, forma normal Greibach é utilizado para mostrar (construtivamente), que existe um PDA livre--transition para cada CFL (que não contém ε ).$\varepsilon$$\varepsilon$

2. Habilita a análise
   Embora os PDAs possam ser usados ​​para analisar palavras com qualquer gramática, isso geralmente é inconveniente. Formulários normais podem nos dar mais estrutura para trabalhar, resultando em algoritmos de análise mais fáceis.

   Como um exemplo concreto, o algoritmo CYK usa a forma normal de Chomsky. A forma normal de Greibach, por outro lado, permite a análise de descida recursiva; mesmo que o retorno seja necessário, a complexidade do espaço é linear.

A forma normal de Chomsky permite que um algoritmo de tempo polinomial decida se uma sequência pode ser gerada por uma gramática. O algoritmo é bem liso se você conhece programação dinâmica ...

Se o comprimento da sua entrada ( ) for n , você terá um 2d array ( A ) de dim n x n .$I$$n$$A$$n$$n$

$A[i,j]$$G$$I(i,j)$

$A[1,n]$$S$$S$

def decide (string s,grammar G):
    //base case
    for i=1 to n:
        N[i,i]=I[i]    //as the substring of length one can be generated by only a
                       terminal.
    //end base case

    //induction
    for s=1 to n:       //length of substring
        for i=1 to n-s-1: //start index of substring
            for j=i to i+s-1:   //something else
                 if there exists a rule A->BC such that B belongs to N[i,j] and C
                 belongs to N[j+1,i+s-1] then add A to N[i,i+s-1]
    //endInduction

    if S belongs to N[1,n] then accept else reject.

Eu sei que os índices parecem bem loucos. Mas basicamente aqui está o que está acontecendo.

$\epsilon$