Número de FLOPs (operações de ponto flutuante) para exponenciação

Qual é o número de operações de ponto flutuante necessárias para executar a exponenciação (potência de)?

Supondo que a multiplicação de dois carros alegóricos use um FLOP, o número de operações para $x^n$ será $n-1$. No entanto, existe uma maneira mais rápida de fazer isso? Como isso funciona se$n$ não é um número inteiro?

Supondo que a multiplicação entre dois números use um FLOP, o número de operações para $x^n$ será $n-1$. No entanto, existe uma maneira mais rápida de fazer isso ...

Certamente, existe uma maneira mais rápida de fazer isso para potências inteiras não negativas. Por exemplo,$x^{14}=x^{8}x^{4}x^{2}$. É preciso uma multiplicação para calcular$x^2$, mais um para calcular $x^4$, mais um para calcular $x^8$e mais dois para multiplicar esses três números. Isso sugere um custo simples e um algoritmo simples.

• Converta a potência inteira não negativa para a base 2.
• Conte o número de unidades nesta representação.
• Adicione a potência de dois correspondentes ao bit diferente de zero mais significativo nesta representação.
• Subtraia um.

Isso gera um algoritmo conciso para qualquer potência inteira não negativa. Esse algoritmo é o mais eficiente, até$x^{14}$. Esse algoritmo sugere que são necessárias seis multiplicações para calcular$x^{15}$ Desde a $x^{15}=x^8x^4x^2x$. No entanto, 15 é 120 na base 3 e 30 na base 5, os quais implicam que apenas cinco multiplicações são necessárias para calcular$x^{15}$: $x^{15}=(x^3)^4x^3$ da representação de base três e $x^{15}=(x^5)^3$da representação da base cinco. O número mínimo de multiplicações necessárias para calcular$x^n$ Onde $n$é um número inteiro não negativo é de fato um problema NP-completo . Mas é muito menos do que$n-1$ multiplicações.

... e como funciona se $n$ não é um número inteiro?

Existem alguns truques que se pode usar se $n$é um racional. Mas se$x$ é real e $n$é um real não negativo, é preciso recorrer a técnicas de aproximação. (Por exemplo, técnicas de aproximação são usadas duas vezes no cálculo$\exp(n\ln(x))$.)

Usar multiplicações n-1 seria um tanto estúpido. Por exemplo, se n = 1024, você apenas x dez vezes. O pior caso é 2 * log_2 (n). Você pode consultar Donald Knuth, arte da programação de computadores, para obter alguns detalhes de como fazê-lo mais rapidamente. Existem algumas situações, como n = 1023, em que você quadraria x dez vezes dando x ^ 1024 e depois dividir por x.

Você pode usar a fórmula

Se você deseja usar apenas multiplicações, quando $n$é um número natural, você pode usar o quadrado repetido , que usa$O(\log n)$multiplicações. Para outro$n$, a multiplicação sozinha não é suficiente.

As pessoas disseram o que acontece quando $n$ é um número inteiro.

Em relação a isso, talvez não exista uma maneira de fazer exponenciação de ponto flutuante.

Chama -se Dilema do Criador de Tabelas , que diz que a quantidade de memória necessária é ilimitada:

Não existe uma maneira geral de prever quantos dígitos extras serão necessários para calcular uma expressão transcendental e arredondá-la corretamente para um número pré-atribuído de dígitos.
Mesmo o fato (se verdadeiro) de que um número finito de dígitos extras será suficiente pode ser um teorema profundo.

Se você é sério sobre o problema, pode não tentar encontrar uma solução com o menor número de multiplicações, mas com o menor tempo de execução.

Considere um modelo em que você possa iniciar uma multiplicação em cada ciclo, mas cada multiplicação leva um número fixo de ciclos, digamos 3 ciclos. Um método que calcula x ^ n com k multiplicações pode levar 3k ciclos (se cada multiplicação depender de um resultado que foi calculado antes), enquanto um método que usa mais multiplicações pode ser executado mais rapidamente.

Por exemplo: Para calcular x ^ 15, você pode calcular nessa ordem x ^ 2 = x * x, x ^ 3 = (x ^ 2) * x, x ^ 6 = (x ^ 3) ^ 2, x ^ 7 Se x = x ^ 6 * x, x ^ 14 = (x ^ 7) ^ 2, x ^ 15 = x ^ 14 * x. Seis multiplicações, mas cada uma depende da anterior.

Ou calcule x ^ 2, x ^ 4 = (x ^ 2) ^ 2, x ^ 3 = x ^ 2 * x, x ^ 5 = (x ^ 4) * x, x ^ 15 = x ^ 5 * x ^ 3, então você tem apenas quatro multiplicações, dependendo dos resultados anteriores.