Requisitos de soma de subconjuntos

Considere o seguinte problema.

Dado um conjunto de números inteiros, uma função e , decida se há tal que .$S$$f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$$k \in \mathbb{Z}$$X \subseteq S$$f\left(\sum_{x\in X}x\right)=k$

Isso ainda é considerado um problema de soma de subconjuntos ?

Por exemplo, dado

$\qquad \displaystyle S=\{ −7, −3, −2, 5, 8\}$

e , encontre um subconjunto tal que para . Nesse caso, uma solução é .$k=0$$X$$f\left(\sum_{x\in X}x\right)=0$$f(y)=-3+y$$X=\{ -3,-2,8 \}$

Depende da forma de . Se , então é idêntico à soma do subconjunto. Se , então é um problema trivial com uma solução : return . Você pode definir de outras maneiras para tornar a pergunta mais ou menos difícil também.$f$$f(x) = x$$f(x) = 0$$O(1)$$true$$f$

Veja abaixo um zoológico de mini-complexidade correspondente a diferentes opções de :$f$

• para , o problema é ( retorne verdadeiro se ).$f(x) = c$$O(1)$$c = 0$
• para para a e caso contrário, o problema é ( pesquisa linear para qualquer número maior do que 0 )$f(x) = 0$$x \geq 0$$f(x) = 1$$O(n)$
• para para , , caso contrário, o problema não será maior que ) ( classifique os itens no conjunto em ordem decrescente e veja se algum prefixo corresponde a uma solução funcional )$f(x) = 0$$x \geq c$$c > 0$$f(x) = 1$$O(n \log n$
• para , o problema é tão difícil quanto a soma do subconjunto (em um sentido informal, e eu não forneço uma construção para demonstrar a redução da soma do subconjunto para isso ... se eu estiver errado sobre este, por favor me avise!)$f(x) = ax + b$
• para se a máquina de Turing codificada por pára a representação binária 's quando administrado a representação binária do como entrada (em alternativa, quando for dada a fita vazia como entrada, e tipos semelhantes de problemas de paragem), e caso contrário, o problema é indecidível ( uma solução para o problema para este pode resolver o problema de parada )$f(x) = 0$$x$$x$$f(x) = 1$$f$

Alguém viu algo mais divertido?

Você pode obter problemas difíceis arbitrários, dependendo do seu .$f$

Seja um idioma. Defina seguinte maneira: $A$$f$

Considere definir . Há um vazio não subconjunto r sse .$S=\{x\}$$X\subseteq S$$f(\Sigma_{x\in X} x) = 0$$x \in A$

Sem colocar um requisito de complexidade em você pode obter problemas de dificuldade arbitrária.$f$

Um caso interessante é quando é de complexidade restrita, por exemplo, tempo polinomial computável. Nesse caso, podemos usá-lo para inverter , para que os problemas possam ser tão difíceis quanto inverter uma função de tempo polinomial arbitrário (e supondo que haja geradores de números psuedo-aleatórios computáveis ​​em tempo polinomial que são difíceis de inverter em tempo subexponencial, isso significa você não pode resolver o problema): seja uma função computável de tempo polinomial arbitrário. Suponha que recebemos e desejemos encontrar um st . Defina . Seja para grande adequado$f$$f$$g$$y\in Range(g)$$x$$g(x)=y$$f(x)=g(x)$$S= \{0,1,2,4,8,\ldots, 2^m\}$$m$(para garantir que uma pré-imagem de possa ser representada como a soma dos números no conjunto). Em cada conjunto, removeremos um número do conjunto e verificaremos se ainda existe um subconjunto st . Se a resposta for sim, sabemos que existe uma solução que não precisa desse número e, portanto, a removemos permanentemente deSe a resposta for não, sabemos que precisamos desse número para todas as soluções. Após etapas, teremos um conjunto que é uma solução e nenhum subconjunto é uma solução, para que possamos retornar como nossa resposta.$y$$2^i$$X$$f(\Sigma_{x\in X} x)=y$$S$$m$$S$$x=\Sigma_{x \in S} x$

Por outro lado, se é um tempo polinomial calculável, o problema estará em .$f$$\mathsf{NP}$

No caso especial em que a função é linear, uma vez que alterna com funções lineares, o problema é o mesmo que resolver a soma do subconjunto sobre . Desde que a função linear não seja constante, o problema será tão difícil quanto a soma do subconjunto, por exemplo, (se você quiser resolver a instância da soma do subconjunto , aplique para membros de para obter e use a versão modificada em para resolvê-lo).$f$$\Sigma$$f(S) = \{ f(x) \mid x \in S\}$$\mathsf{NP\text{-}hard}$$(S,k)$$f^{-1}$$S$$S'$$(S',k)$

(Esse truque também funcionará para casos mais gerais, onde a função é computável em tempo polinomial e possui uma inversa que também é computável em tempo polinomial.)$f$

Sim, este ainda é um problema de soma de subconjuntos , mas em vez de encontrar um subconjunto cuja soma é , você deve ter uma soma que seja igual a outra coisa (no seu exemplo, 3, em geral é , que pode ser um conjunto de números se for muitos para um ).$0$$f^{-1}(0)$$f$

Isso não muda muito a dificuldade do problema para o bijetivo , mas depende do número de pré-imagens que possui. Como já foi dito, se , o problema se torna trivial.$f$$f^{-1}(0)$$f(y)=0$