Linguagem envolvendo número irracional não é uma CFL

Estou trabalhando com um exercício árduo em um livro didático e não consigo descobrir como proceder. Aqui está o problema. Suponha que tenhamos a linguagem que é algum número irracional. Como eu provaria que não é uma linguagem livre de contexto?$L = \{a^ib^j: i \leq j \gamma, i\geq 0, j\geq 1\}$$\gamma$$L$

No caso em que é racional, é muito fácil construir uma gramática que aceite o idioma. Mas porque é irracional, eu realmente não sei o que fazer. Não parece que nenhum dos lemas de bombeamento funcionaria aqui. Talvez o teorema de Parikh funcione aqui, pois parece intuitivamente que essa linguagem não tem uma imagem Paril semilinear que a acompanha.$\gamma$$\gamma$

Este exercício é de "Um Segundo Curso de Línguas Formais e Teoria de Autômatos", de Jeffrey Shallit, Exercício 25 do Capítulo 4.

Eu realmente aprecio qualquer ajuda, ou cutucada na direção certa. Obrigado!

De acordo com o teorema de Parikh, se $L$ fosse livre de contexto, o conjunto $M = \{(a,b) : a \leq \gamma b \}$ seria semilinear, isto é, seria a união de muitos conjuntos finitos da forma $S = u_0 + \mathbb{N} u_1 + \cdots + \mathbb{N} u_\ell$ , para alguns $u_i = (a_i,b_i)$ .

Obviamente $u_0 \in M$ e, além disso, para cada , pois caso contrário para suficientemente grande . Portanto (uma vez que é racional). Isso significa que todo satisfaz .$u_i \in M$$i > 0$$u_0 + N u_i \notin M$$N$$g(S) := \max(a_0/b_0,\ldots,a_\ell/b_\ell) < \gamma$$g(S)$$(a,b) \in S$$a/b \leq g(S)$

Agora, suponha que seja a união de e defina . O exposto acima mostra que todos na união satisfazem e obtemos uma contradição, pois .$M$$S^{(1)},\ldots,S^{(m)}$$g = \max(g(S^{(1)}),\ldots,g(S^{(m)})) < \gamma$$(a,b)$$a/b \leq g < \gamma$$\sup \{ a/b : (a,b) \in M \} = \gamma$

Quando é racional, a prova falha e, de fato, é semilinear: De fato, por construção, qualquer par no lado direito satisfaz (uma vez que ). Por outro lado, suponha que . Enquanto e , subtrair a partir de . Eventualmente (já que implica$\gamma$$M$

Toda variável, exceto nesta resposta, representa um número inteiro positivo. É sabido que, dado um irracional , existe uma sequência de números racionais modo que esteja mais próximo de que qualquer outro número racional menor que cujo denominador é menor que .$\gamma$$\gamma>0$$\dfrac{a_1}{b_1}\lt\dfrac{a_2}{b_2}\lt\dfrac{a_3}{b_3}\lt\cdots \lt\gamma$$\dfrac{a_i}{b_i}$$\gamma$$\gamma$$b_i$

Acontece que o lema de bombeamento funciona!

Por uma questão de contradição, seja o comprimento de como uma linguagem livre de contexto. Seja , uma palavra que é mas "quase". Observe que . Considere , onde e para todos os .$p$$L$$s=a^{a_p}b^{b_p}$$L$$|s|>b_p\ge p$$s=uvwxy$$|vx|> 1$$s_n=uv^nwx^ny\in L$$n\ge0$

Seja e o número de s e s em v x respectivamente.$t_a$$t_b$$a$$b$$vx$

• Se $t_b=0$ ou $\dfrac{t_a}{t_b}\gt\gamma$, para$n$grande o suficiente, a proporção entre o número de$a$s para que de$b$s em$s_n$vai ser maior do que$\gamma$, ou seja,$s_n\not\in L$.
• Caso contrário, $\dfrac{t_a}{t_b}\lt\gamma$. Como$t_b<b_p$,$\dfrac{t_a}{t_b}\lt \dfrac{a_p}{b_p}$ . Portanto, $\dfrac{a_p-t_a}{b_p-t_b}>\dfrac{a_p}{b_p}$ Dado que$b_p-t_b<b_p$,$\dfrac{a_p-t_a}{b_p-t_b}>\gamma,$ que diz que$s_0\not\in L$.

A contradição acima mostra que $L$ não pode ser livre de contexto.

Aqui estão dois exercícios mais fáceis relacionados.

Exercício 1. Mostre que $L_\gamma=\{a^{\lfloor i \gamma\rfloor}: i\in\Bbb N\}$ não é livre de contexto onde $\gamma$ é um número irracional.

Exercício 2. Mostre que $L_\gamma=\{a^ib^j: i \leq j \gamma, i \ge0, j\ge 0\}$ é livre de contexto onde $\gamma$ é um número racional.