Algoritmo similar de ancestral comum mais baixo para um gráfico

Estou trabalhando em um sistema de tipos e encontrei um problema que parece semelhante ao menor ancestral comum. Dados dois tipos, preciso encontrar a menor sequência de conversões que resultará no mesmo tipo de destino. Se eu tivesse uma árvore de tipos simples, sei como obter o resultado, mas infelizmente tenho uma estrutura gráfica um pouco mais complexa.

Esse gráfico tem alguns pontos-chave. É unidirecional e nenhum loop é formado. Devido a um número ilimitado de tipos, no entanto, não pode ser produzido estaticamente. A distância de um caminho é geralmente bastante baixa. "Parece" mais uma árvore com várias bordas de atalho.

Inicialmente, olhei para o menor ancestral comum, mas ele é descrito principalmente como um algoritmo de árvore. Ainda não perdi a esperança de poder adaptá-lo. A outra possibilidade seria um algoritmo de localização de caminho mais genérico.

Espero que alguém tenha visto esse problema antes, ou um problema semelhante, e possa me dar algumas referências sobre como abordá-lo ainda mais. Parece familiar o suficiente para presumir que algo deve existir e estou apenas procurando os termos / nomes errados.

Aqui está minha tentativa de descrever isso de maneira mais formal.

Haja um gráfico $G = \{ V \}$ de modo que cada vértice tenha um conjunto de arestas de saída $V = \{ E=V_x \}$. Observe que, como o gráfico é dinâmico, possivelmente infinito, não há como construir a forma$G = \{V, E=(V_x,V_y)\}$ para o gráfico inteiro.

Um caminho é formado a partir de um vértice, seguindo qualquer uma das arestas disponíveis desse nó. $Pnm_x = V_n, ..., V_m$. O comprimento desse caminho é igual ao número de vértices na sequência. Não há ciclo possível. O conjunto de todos os caminhos entre dois nós é expresso como$Pnm = \{ V_n, ..., V_m \}$.

Observe que $Pnm$pode ser determinado como vazio em um número finito de etapas. Enumerando todo o$Pnm$ o conjunto não é praticamente possível.

O problema é encontrar o caminho mais curto de dois vértices para um terceiro vértice. Ou seja, dado$V_a, V_b$, encontrar $V_c$ de modo que caminhos $Pac_x$ e $Pbc_y$ existe e $length(Pac_x) + length(Pbc_y)$ é mínimo.

Se o ancestral comum mais baixo de dois tipos sempre existir e for único, sua estrutura será um junção-semilático. É possível calcular o ancestral comum mais baixo possível, mas a pior complexidade de tempo de execução não é tão boa quanto eu esperava intuitivamente. Eu fiz uma pergunta relacionada há algum tempo, mas fiquei com preguiça de escrever uma resposta depois de encontrar a solução relevante na "literatura". Acabei de escrever a resposta agora, e ela começa da seguinte maneira:

Este post no blog sobre teoria das redes possui uma seção de referência útil, que contém, entre outros, "Teoria da Rede com Aplicações", de Vijay K. Garg. O Capítulo 2 "Representando Posets" descreve algumas estruturas de dados para representar posets e discute como calcular a junção (x, y) usando essa estrutura de dados.

Aqui está a parte relevante do capítulo 2.3.1:

Agora damos uma $O(n + |e_\prec|)$ algoritmo para calcular a junção de dois elementos $x$ e $y$. O algoritmo retorna$null$se a junção não existir. Primeiro, assumimos que estamos usando a relação de cobertura. Para calcular$join(x,y)$, procedemos da seguinte maneira:

• Etapa 0: Colora todos os nós em branco.
• Etapa 1: Colorir todos os nós acessíveis $x$como cinza. Isso pode ser feito por um BFS ou um DFS a partir do nó$x$.
• Etapa 2: executar um BFS / DFS a partir do nó $y$. Colora todos os nós cinza alcançados em preto.
• Etapa 3: Agora determinamos para cada nó preto $z$, o número de nós pretos que apontam para $z$. Ligue para este número$inBlack[z]$ para qualquer nó $z$. Esta etapa pode ser realizada em$O(n + |e_\prec|)$ percorrendo as listas de adjacência de todos os nós pretos e mantendo as contagens cumulativas de $inBlack$ array.
• Etapa 4: contamos o número de nós pretos $z$ com $inBlack[z]$ igual a $0$. Se houver exatamente um nó, retornamos esse nó como resposta. Caso contrário, retornamos$null$.