Quão difícil é uma variante do quebra-cabeça Sudoku?

O Sudoku é um quebra-cabeça bem conhecido que é conhecido por ser NP-completo e é um caso especial de um problema mais geral conhecido como quadrados latinos. Uma solução correta do quadrado consiste em preencher todas as linhas e todas as colunas com números de a sob a condição de que todo número apareça exatamente uma vez em qualquer linha ou coluna.$N \times N$$1$$N$

Eu defino um novo problema. A entrada é uma solução correta do quebra-cabeça Sudoku (mais geralmente o problema do quadrado latino). Gostaria de decidir se há permutação de linhas e permutação de colunas, de modo que nenhuma linha e nenhuma coluna contenha triplos consecutivos.$N \times N$

Um exemplo para uma linha sem triplo consecutivo é 9 5 6 2 3 8 4 7 1. Um exemplo para uma linha com triplo consecutivo é 8 9 5 2 3 4 7 6 1. O triplo é 2 3 4.

Suspeito que o problema seja difícil para o NP, mas não consegui encontrar uma redução.

Quão difícil é resolver esta variante do quebra-cabeça Sudoku? É NP-completo?

EDIT : Para esclarecer, a mesma permutação deve ser aplicada às colunas e às linhas.

Quando as permutações de linha e coluna são diferentes e as triplas consecutivas precisam aumentar: A resposta é sempre SIM.

Suponhamos que a matriz tem o tamanho . Considere uma permutação aleatória das colunas. Cada linha (por si só) é uma permutação aleatória. A probabilidade de os números aparecerem nas posições é . Existem opções para e e linhas diferentes. Portanto, o número esperado de triplos consecutivos é$N\times N$$i,i+1,i+2$$t,t+1,t+2$$1/(N(N-1)(N-2))$$N-2$$t$$i$$N$$N(N-2)^2/(N(N-1)(N-2)) < 1$. Concluímos que há alguma permutação das colunas, sob a qual não há triplos consecutivos em nenhuma das linhas. Agora repita o mesmo argumento para as colunas - observe que permutar as linhas não pode criar um triplo consecutivo em nenhuma delas.

Quando as permutações de linha e coluna são as mesmas e os triplos consecutivos podem aumentar ou diminuir: A resposta ainda é SIM, para grande o suficiente .$N$

A idéia é usar a versão desigual do lema local de Lovász , através do artigo de Lu e Székely, usando o lema local de Lovász no espaço de injeções aleatórias . Na prova anterior, consideramos os eventos para , que para uma linha (uma linha ou coluna), afirmam que para . Estes são exemplos dos eventos canônicos considerados por Lu e Székely: se a permutação aleatória (permutando linhas e colunas) é , então eles têm a forma , em que$X_{\ell,i,t,\sigma}$$\sigma \in \{\pm 1\}$$\ell$$\ell(i+\sigma\delta)=t+\delta$$\delta \in \{0,1,2\}$$\pi$$\pi(t)=j_0,\pi(t+1)=j_1,\pi(t+2)=j_2$$j_\delta = \ell^{-1}(i+\sigma\delta)$ . Dois eventos entram em conflito se ou ( na verdade, isso é apenas uma condição necessária). Cada evento entra em conflito com no máximo outros eventos ( linhas , duas orientações, duas maneiras de entrar em conflito, cinco posições conflitantes). Embora eventos não conflitantes sejam geralmente dependentes, usando a versão desigual do lema local de Lovász, podemos ignorar isso e deixar que nosso gráfico de dependência inclua arestas apenas para eventos conflitantes. Como a probabilidade de cada evento acontecer é$X_{\ell,i,t,\sigma},X_{\ell',i',t',\sigma'}$ $\{t,t+1,t+2\} \cap \{t',t'+1,t'+2\} \neq \emptyset$$\{j_0,j_1,j_2\} \cap \{j'_0,j'_1,j'_2\} \neq \emptyset$$2N\cdot 2\cdot 2\cdot 5 - 1= 40N-1$$2N$$p = 1/(N(N-1)(N-2))$ e o tamanho de cada vizinhança é , o lema se aplica sempre que , ou seja, Essa condição é satisfeita para . Concluímos que para , a permutação necessária sempre existe. Usando a versão construtiva recente da LLL, podemos encontrá-la com eficiência.$d \leq 40N-1$$ep(d+1) \leq 1$