O “Objeto alcançável” é realmente um problema completo do NP?

Eu estava lendo este artigo, onde os autores explicam o Teorema 1, que afirma que "Objeto alcançável" (conforme definido no artigo) é NP-completo. No entanto, eles provam a redução apenas em uma direção, ou seja, de 2P1N SAT para Objeto alcançável. Isso prova apenas que o problema é difícil de NP; não precisamos provar a direção reversa (2P1N para Objeto alcançável) para provar a completude de NP?

— Infinidade
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Os autores não provaram que o problema está no NP, apenas afirmaram que sim (e que é fácil provar isso). Eles têm dureza NP comprovada.

— Lagarto discreto

Eu só quero que você saiba que o símbolo \innão é \epsilon.

— Alice Ryhl

Respostas:

Um problema $P$ é NP-completo se:

$P$ é NP-difícil e
$P \in \textbf{NP}$ .

Os autores fornecem uma prova do item 1. O item 2 provavelmente é aparente (e deve ser claro para o público do artigo). Para a comprovação do item número 1, você só precisa de uma redução (muitos) de um problema completo de NP (por exemplo, SAT) para $P$ ; não há necessidade de construir uma redução na direção oposta.

— dkaeae
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Caso alguém ainda esteja confuso, 2 é trivial porque estar no NP significa que você pode rapidamente (tempo polinomial) verificar uma solução para o problema. Aqui, uma solução pode ser verificada simplesmente executando as trocas conforme indicado na solução e verificando se você alcança o objeto desejado.

— 9788 Steven

@StevenLowes A única coisa que você ainda precisa verificar é que o número de trocas necessárias é polinomial. Também não é tão difícil de ver, como explico na minha resposta.

— Lagarto discreto

Eu tinha interpretado mal o papel e assumiu que não era possível para uma seqüência para exigir mais de swaps N - você está certo :)

— Steven Waterman

@ StevenLowes: Bem, também é melhor que seja (expressável como) um problema de decisão. Existem problemas difíceis de NP que não são problemas de decisão, que obviamente não ocorrerão no NP, por mais fácil que sejam "verificar".

— Kevin

Os autores afirmam que é fácil mostrar que o problema está no NP. Para provar essa afirmação, faça uma sequência de trocas que levem a um estado como testemunha de que o estado é alcançável. Dada essa sequência de tamanho polinomial, podemos verificar em tempo polinomial que o estado é realmente alcançável executando os swaps.

O que resta a ser mostrado é que há uma sequência de trocas que possui tamanho polinomial. Observe que, como cada agente tem preferências rígidas e só trocará se puder fazer uma troca que ofereça um objeto melhor, cada agente poderá trocar no máximo $n$ vezes. Como existem no máximo $n$ agentes, cada sequência de swaps tem no máximo $n^2$ swaps.

Penso que, se houvesse preferências não estritas, seria possível que alguns itens tivessem que passar por longos ciclos para alcançar determinados estados e que, em particular, existam estados em que todas as sequências de swaps tenham tamanho exponencial. No entanto, não consigo pensar em um exemplo imediato de tal problema. No mínimo, não é mais 'fácil' mostrar que o problema com preferências não estritas está no NP.

— Lagarto discreto
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